MATLAB的dsolve函數求微分方程的符號解

2021-12-29 雲龍派

MATLAB 求解常微分方程的函數是dsolve()。應用此函數可以求得常微分方程(組)的通解，以及給定邊界條件(或初始條件)後的特解。

S=dsolve(eqn)

S=dsolve(eqn,cond)

S=dsolve(eqn,cond,Name,Value)

equ1,equ2,…為給定的常微分方程(組)。

② Value為給定的常微分方程(組)的指定符號自變量，默認變量為t。

③ cond1,cond2,…為給定的常微分方程(組)給定的邊界條件(或初始條件)。初始和邊界條件由字符串表示：y(a)=b，Dy(c)=d，D2y(e)=f 等等，

④ r 為求符號解(即解析解)，若邊界條件少於方程(組)的階數，則返回的結果r 中會出現任意常數C1，C2，…

⑤ 在微分方程(組)的表達式equ 中，大寫字母D 表示對自變量(設為x)的微分算子：

D=d/dx，D2=d2/d2x，...，微分算子D 後面的字母則表示為因變量，即待求解的未知函數。

⑥ dsolve 命令最多可以接受12 個輸入參量(包括方程組與定解條件個數，當然也可以做到輸入的方程個數多於12 個，只要將多個方程置於一字符串內即可)。

⑦ 若沒有給定輸出參量，則在命令窗口顯示解列表。

⑧ 若該命令找不到解析解，則返回一警告信息，同時返回一空的sym 對象。這時，用戶可以用命令ode23 或ode45 求解方程組的數值解。

求解常微分方程的通解
clc;clear all;close all;% 在求通解問題syms y(x)y=dsolve(x^2+y+(x-2*y)*diff(y)==0)
結果：
y =  x/2 + ((4*x^3)/3 + x^2 + C3)^(1/2)/2 x/2 - ((4*x^3)/3 + x^2 + C3)^(1/2)/2
clc;clear all;close all;syms y(x)% 定義符號變量dy=diff(y);%一階導數d2y=diff(y,2);%二階導數，用於初值或邊值條件的賦值y=dsolve(diff(y,3)-diff(y,2)==x,y(1)==8,dy(1)==7,d2y(2)==4)y=simplify(y) %把計算結果化解
y = (17*x)/2 + 7*exp(x - 2) - 7*x*exp(-1) - x^2/2 - x^3/6 + 1/6
clc;clear all;close all;syms f(x) g(x)df=diff(f);%用於初值或邊值條件的賦值[f1,g1]=dsolve(diff(f,2)+3*g==sin(x),diff(g)+diff(f)==cos(x))%求通解f1=simplify(f1),g1=simplify(g1)
[f2,g2]=dsolve(diff(f,2)+3*g==sin(x),diff(g)+diff(f)==cos(x),df(2)==0,f(3)==3,g(5)==1)f2=simplify(f2),g2=simplify(g2)
f1 = C3 + sin(x)/2 + (3^(1/2)*C4*exp(3^(1/2)*x))/3 - (3^(1/2)*C5*exp(-3^(1/2)*x))/3  g1 = sin(x)/2 - (3^(1/2)*C4*exp(3^(1/2)*x))/3 + (3^(1/2)*C5*exp(-3^(1/2)*x))/3  f2 = (18*exp(3^(1/2)*(x + 2)) - 6*exp(3^(1/2)*(2*x + 3)) - 6*exp(7*3^(1/2)) + 6*exp(3^(1/2)*(x + 4)) + 6*exp(3^(1/2)*(x + 6)) + 18*exp(3^(1/2)*(x + 8)) + 3*exp(3^(1/2)*(2*x + 3))*sin(5) + 3*exp(3^(1/2)*(x + 2))*sin(x) + 3*exp(3^(1/2)*(x + 8))*sin(x) - 3*exp(3^(1/2)*(x + 2))*sin(3) - 3*exp(3^(1/2)*(x + 4))*sin(5) - 3*exp(3^(1/2)*(x + 6))*sin(5) - 3*exp(3^(1/2)*(x + 8))*sin(3) + 3*exp(7*3^(1/2))*sin(5) + 3^(1/2)*cos(2)*exp(3^(1/2)*(x + 3)) - 3^(1/2)*cos(2)*exp(3^(1/2)*(x + 7)) + 3^(1/2)*cos(2)*exp(10*3^(1/2)) - 3^(1/2)*cos(2)*exp(2*3^(1/2)*x))/(6*(exp(3^(1/2)*(x + 2)) + exp(3^(1/2)*(x + 8))))  g2 = (6*exp(7*3^(1/2)) + 6*exp(3^(1/2)*(2*x + 3)) - 3*exp(3^(1/2)*(2*x + 3))*sin(5) + 3*exp(3^(1/2)*(x + 2))*sin(x) + 3*exp(3^(1/2)*(x + 8))*sin(x) - 3*exp(7*3^(1/2))*sin(5) - 3^(1/2)*cos(2)*exp(10*3^(1/2)) + 3^(1/2)*cos(2)*exp(2*3^(1/2)*x))/(6*(exp(3^(1/2)*(x + 2)) + exp(3^(1/2)*(x + 8)))) 
求解線性常微分方程組
一階齊次線性微分方程組
clc;clear all;close all;
syms x(t) y(t) z(t)X=[x;y;z]% 定義符號向量A=[2 1 3;0 2 -1;0 0 2];B=[1 2 1]';[x, y, z]=dsolve(diff(X)==A*X,X(0)==B)
結果：
 X(t) =  x(t) y(t) z(t)  x = exp(2*t) + 5*t*exp(2*t) - (t^2*exp(2*t))/2  y = 2*exp(2*t) - t*exp(2*t)  z = exp(2*t)
非齊次線性方程組
clc;clear all;close all;syms x(t) y(t) z(t)X=[x;y;z]% 定義符號向量A=[1 0 0;2 1 -1;3 2 1];B=[0;0;exp(t)*cos(2*t)];x0=[0;1;1];%初值條件X=dsolve(diff(X)==A*X+B,X(0)==x0)%求符號解X=simplify([X.x;X.y;X.z])%顯示解的各個分量pretty(X) %分數線居中的顯示方式
 X(t) =  x(t) y(t) z(t) 
X = 
  包含以下欄位的 struct:
    y: [1×1 sym]    x: [1×1 sym]    z: [1×1 sym]
 X =                                                                    0     (exp(t)*(cos(2*t) + cos(2^(1/2)*t) - 2^(1/2)*sin(2^(1/2)*t)))/2 (exp(t)*(2*sin(2*t) + 2*cos(2^(1/2)*t) + 2^(1/2)*sin(2^(1/2)*t)))/2 /                                0                                \|                                                                 ||   exp(t) (cos(2 t) + cos(sqrt(2) t) - sqrt(2) sin(sqrt(2) t))   ||   ----   ||                                2                                ||                                                                 || exp(t) (sin(2 t) 2 + 2 cos(sqrt(2) t) + sqrt(2) sin(sqrt(2) t)) || --- |\                                2                                /
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