與焦點弦相關的一個重要定理,圓錐曲線選擇填空題必用技巧

2020-12-12 超級高考老師

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高中生數學學霸鍛造「1天1道」行動

我們用這個定理解下面這一類題特別快，看了證明過程我們易知，這只不過是圓錐曲線的第二定義的應用罷了，下面我們以橢圓為例來介紹一下圓錐曲線的第二定義

橢圓是一種圓錐曲線（也有人叫圓錐截線的），現在高中教材上有兩種定義：

第一定義：平面上到兩點距離之和為定值的點的集合（該定值大於兩點間距離）（這兩個定點也稱為橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距）；

第二定義：平面上到定點距離與到定直線間距離之比為常數的點的集合（定點不在定直線上，該常數為小於1的正數）（該定點為橢圓的焦點，該直線稱為橢圓的準線）。

這兩個定義是等價的準線和焦點的作用和意義是一樣的，都是用來確定橢圓、雙曲線、拋物線的形狀以及位置的。

離心率統一定義是動點到焦點的距離和動點到準線的距離之比準線：x=± a^2/c

定理的應用

【點評】

【點評】這個題跟第一題很相似，所以小編就不給同學們再畫一個圖了，希望同學們能夠拿起手中的筆自己去嘗試一下。

【點評】

【點評】此題跟上一題很相似，希望同學們自己動手作圖去體會一下圓錐曲線第二定義在這類題裡面發揮的作用。

總結：

相關焦點

  • 圓錐曲線的焦半徑與焦點弦
    圓錐曲線的四大弦（中點弦，焦點弦，直角弦，一般弦）是每年高考數學中，圓錐曲線部分命題的必考內容，而且還是壓軸考題與次壓軸考題的經常命題點，是高中數學考生最頭痛的部分之一，也是高考最容易拉分的主要地方。圓錐曲線焦點弦（含焦半徑）更是高考數學最喜歡考查的主幹內容，其計算公式（不需要證明），取值範圍（最值，不需要證明），巧妙應用（需要學生熟練靈活），都是高三數學複課的核心與主體。下面全面系統地介紹圓錐曲線的焦點弦（含焦半徑），以期望給高考考生們，拋磚引玉，觸類旁通，舉一反三。
  • 圓錐曲線的切線與切弦
    圓錐曲線是高中數學的一個重要分支，是高考數學的一個主體與支撐，其中直線與圓錐曲線的位置關係（特別是相切的充要條件判斷，切線計算，切弦計算）更是高考數學的必考內容之一，也是高考數學的一個難點之一。直線與圓錐曲線的切線與切弦，有著明顯簡潔的數學結構特徵，也有著美妙的數學幾何意義。如果在平時的高考衝刺教學中，進行適度的拓展與補充，不但會拓展考生的數學思維與數學視野，還會在高考中使得考生快速地求解選擇試題與填空試題，何樂而不為呢？下列就比較系統詳細地給予說明（圓錐曲線的切線與切弦），以期待對同學們有一定的啟示和啟發。
  • 《拋物線焦點弦問題》教學設計
    在圓錐曲線中焦點弦是重點考查內容之一，而在橢圓，雙曲線中焦點弦，受限於沒有明確要求學習第二定義。故只能用聯立方程、韋達定理這一通法來處理，因此帶來運算繁瑣。在拋物線中定義唯一且明了，標準方程相對簡單，這就給焦點弦問題的解決帶來了多姿多彩的解法，同時反過來又對橢圓，雙曲線的焦點弦問題指明了方向。如果這個時候和學生學習第二定義，同學們的學習熱情就上來了。今天向大家推薦一篇教學設計。
  • 拋物線焦點弦平行共線模型
    今天依然是拋物線的性質，並且也是一個恆成立的性質，看條件    這也是焦點弦的又一性質，它的性質可是真不少啊！    （點擊查看）    圓錐曲線焦半徑，焦點弦模型與第二定義    證明過程中用到了拋物線焦點弦的一個之前提到過的性質，就是，焦點弦端點的橫縱坐標乘積皆為定值（這裡用到縱坐標乘積）拋物線面積比定值模型
  • 高中數學知識點總結,圓錐曲線題型常用方法的總結
    在每年的高考中，對於圓錐曲線知識點的考察，是一個必不可少的考點，基本在全國以及地方的考試試卷中都會遇到，考試的題型也有很多種，在選擇，填空，解答題中都會考到，分值佔比相當大，也是我們同學每年考試的一個難點，好多同學就會因為圓錐曲線題型而導致失分過多。
  • 是高效求解圓錐曲線有關選填題、壓軸大題的立足點
    3) 弦長有關問題弦長是圓錐曲線與直線綜合應用中時常涉及的一個重要圖形元素。高考中，求圓錐曲線方程的弦長的值或坐標有關表達式問題時有出現。4) 弦中點有關問題弦中點也是圓錐曲線與直線綜合應用中會涉及的一個重要圖形元素。高考中，在與中點有關的圓錐曲線與直線綜合應用中，求弦中點有關問題往往是整個解題思路中的重要一環。
  • 圓錐曲線專題解析5:點差法分析中點及斜率(附參考答案)
    ,經常會碰到一些中點弦的問題,比如根據弦的斜率求中點坐標,根據中點坐標求弦的斜率,或者其它一些跟中點弦相關的計算和證明等等.按照常規思路,我們會聯立直線和圓錐曲線方程,消去或,然後通過韋達定理來處理中點弦的問題,這樣能得到我們所要求的結果,但計算量會比較大,一不小心就會算錯,造成失分.今天來介紹下圓錐曲線中的點差法,專門針對中點弦的問題進行簡化運算,快速得到答案.
  • 與拋物線焦點弦有關的常用結論
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  • 「圓錐曲線」到底有多重要?看完你就知道了
    17世紀初，克卜勒發現了「圓錐曲線」的「焦點」和「離心率」，他大膽地指出，「拋物線」還有一個在「無窮遠」處的「焦點」，「直線」是圓心在無窮遠處的「圓」。克卜勒接著大膽設想，橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的「退化圓錐曲線，只須考慮焦點的各種移動方式，就可以連續地由一個變為另外一個。
  • 高考解析幾何中與拋物線焦點弦有關的常用結論
    今天整理一起與拋物線焦點弦有關的常用結論，拋物線中的結論證明也很簡單，有興趣可以自己證明一下，結論分為三類，即長度類，角度類，面積類，拋物線類型均以y=2px(p>0)為例一.與長度有關的結論>這個結論的重要性在於以原點為起點，A,B為終點的兩個向量乘積為定值，若在求△OAB的面積時用向量表示，則意味著面積的大小隻與∠AOB的正弦值有關這是考試中最常用的結論，焦點弦和長短焦半徑均可用直線與x軸夾角的三角函數值來表示，另外長短焦半徑的倒數之和為定值
  • 吳國平:都說高中數學難,但難於上青天是圓錐曲線
    如果說解析幾何是高中數學教學的重點內容之一,那麼核心部分就是圓錐曲線。圓錐曲線綜合問題一般被高考命題老師用來考查考生的分析處理信息的能力、劃歸與轉化能力、數形結合做題能力、解題計算能力等,同時檢驗學生對基礎知識的掌握情況與靈活運用能力。因此跟圓錐曲線有關的內容是每年高考的必考內容之一,如直線與圓錐曲線是高考數學重點考查內容。
  • 蝴蝶定理
    圓外蝴蝶定理1.在橢圓中思路的選擇有賴於對式子特徵的觀察聯想。縱觀這道題的題目特徵及解答過程，我們看到了用代數方程方法處理幾何問題的作用與威力。2.在圓錐曲線中通過射影幾何，我們可以非常容易的將蝴蝶定理推廣到普通的任意圓錐曲線（包括橢圓，雙曲線，拋物線，甚至退化到兩條相交直線的情況）。
  • 高考滿分學霸解決圓錐曲線難題,只需10招,原來是這樣
    高中數學這一塊，圓錐曲線，總是拿不到分。令很多人感覺到很苦惱。那麼利用這一個寒假，怎麼樣能有有效的解決圓錐曲線方面的問題呢？up主，專門諮詢了一下清北的學霸。學霸表示很輕鬆，圓錐曲線只需要10招就可以解決掉了。接下來把這10招分享給同學們。
  • 圓錐曲線構造相關助教材料
    圓錐面與平面的交線是圓錐曲線，球與平面的切點是圓錐曲線的焦點。一個圓錐曲線在每個焦點各有一個旦德林球。特別地，橢圓的兩個旦德林球與同一半圓錐面相切，雙曲線的兩個但德林球與兩個半圓錐面相切，拋物線只有一個旦德林球。旦德林球被發現於1822年，因紀念比利時數學家旦德林得名。但德林球可用至少兩種理論(1)證明，這兩種理論都在旦德林前被發現，但旦德林是他們的證明更簡潔。
  • 圓錐曲線解題技巧+7大題型匯總+常用公式推論!
    學好圓錐曲線的幾個關鍵點　　1、牢記核心知識點　　核心的知識點是基礎，好多同學在做圓錐曲線題時，特別是小題，比如橢圓，雙曲線離心率公式和範圍記不清，焦點分別在x軸，y軸上的雙曲線的漸近線方程也傻傻分不清，在做題時自然做不對。
  • 高考高頻考點:三個重要公式,解決拋物線弦長問題
    圓錐曲線，是由一平面截二次錐面得到的曲線，包括橢圓（圓為橢圓的特例）、拋物線、雙曲線。拋物線是初中高中階段重要的一個知識點，高中主要是增加了焦點、準線還有定義，這也提示我們這將是它的一個重點，所以在學習的時候要多多理會它的含義，並能夠靈活運用．
  • 中點弦公式及其推論
    教學過程中，應該在注重知識面廣的同時，根據數學的特點加強思想方法的滲透，總結一些源於教材而高於教材的重要結論和解題規律，做到基礎紮實、結論熟練、思路清晰、方法準確、講練得體，並引導學生充分結合教材和高考試題，學會整理知識要點、解題方法、解題技巧，分類收集典型考例，深入淺出，自然實現重點的突出、難點的突破，在能力提升同時也為高考複習複習打下前站，為高三的飛躍打下堅實的基礎。
  • 數學篇|看完這篇,秒殺所有圓錐曲線小技巧!
    焦點三角形 涉及到焦點三角形，通常要考慮利用相關的幾何性質。最常見的就是如下焦點三角形的面積公式： ，焦點弦的問題上十分常用。下面我們來看一下吧~ 對於橢圓和雙曲線來說，它們都有兩個焦點，兩條準線，對於拋物線來說，有一個焦點和一個準線。可以看到，焦點和準線存在著一種對應關係。其實這種對應關係在一般的點是否存在呢？