初中階段因式分解的常用方法（例題詳解）

因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數中佔有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。

1. 因式分解的對象是多項式；

2. 因式分解的結果一定是整式乘積的形式；

3. 分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止；

4. 公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式；

5. 結果如有相同因式，應寫成冪的形式；

6. 題目中沒有指定數的範圍，一般指在有理數範圍內分解；

7. 因式分解的一般步驟是：

（1）通常採用一「提」、二「公」、三「分」、四「變」的步驟。即首先看有無公因式可提， 其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組後有公因式可提或可利用公式法繼續分解；

（2） 若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定係數法、試除法、拆項（添項）等方法.

因式分解的方法多種多樣，現將初中階段因式分解的常用方法總結如下：

一、提公因式法.

如多項式am + bm + cm = m(a + b + c),

其中m 叫做這個多項式各項的公因式， m 既可以是一個單項式，也可以是一個多項式．

二、運用公式法.

運用公式法，即用

a 2 - b2 = (a + b)(a - b), a 2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 ,

a3 ± b3 = (a ± b)(a 2 m ab + b2 )

寫出結果．

三、分組分解法.

（一）分組後能直接提公因式

例1、分解因式：am + an + bm + bn

分析：從「整體」看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從「局部」看，這個多項式前兩項都含有a，後兩項都含有b，因此可以考慮將前兩項分為一組，後兩項分為一組先分解，然後再考慮兩組之間的聯繫。

解：原式= (am + an) + (bm + bn)

= a(m + n) + b(m + n)

= (m + n)(a + b)

思考：此題還可以怎樣分組？

每組之間還有公因式！

此類型分組的關鍵：分組後，每組內可以提公因式，且各組分解後，組與組之間又有公因式可以提。例2、分解因式：2ax -10ay + 5by - bx

解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。第二、三項為一組。

解：原式= (2ax -10ay) + (5by - bx)

= 2a(x - 5y) - b(x - 5y)

= (x - 5y)(2a - b)

原式= (2ax - bx) + (-10ay + 5by)

= x(2a - b) - 5y(2a - b)

= (2a - b)(x - 5y)

練習：分解因式 1、a2 - ab + ac - bc2、 xy - x - y +1

（二）分組後能直接運用公式

例3、分解因式：x2 - y 2 + ax + ay

分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完後就能繼續分解，所以只能另外分組。

解：原式= (x2 - y 2 ) + (ax + ay)

= (x + y)(x - y) + a(x + y)

= (x + y)(x - y + a)

例4、分解因式：a2 - 2ab + b2 - c2

解：原式= (a2 - 2ab + b2 ) - c2

= (a - b)2 - c2

= (a - b - c)(a - b + c)

注意這兩個例題的區別！

練習：分解因式 3、 x2 - x - 9y 2 - 3y4、 x2 - y 2 - z 2 - 2yz

綜合練習：（1） x3 + x2 y - xy 2 - y3（2） ax2 - bx2 + bx - ax + a - b

（3） x2 + 6xy + 9y 2 -16a2 + 8a -1（4） a2 - 6ab +12b + 9b2 - 4a

（5） a4 - 2a3 + a2 - 9（6） 4a2 x - 4a2 y - b2 x + b2 y

（7）x2 - 2xy - xz + yz + y 2（8） a2 - 2a + b2 - 2b + 2ab +1

（9） y( y - 2) - (m -1)(m +1)（10） (a + c)(a - c) + b(b - 2a)

（11） a2 (b + c) + b2 (a + c) + c2 (a + b) + 2abc （12） a3 + b3 + c3 - 3abc

四、十字相乘法.

（一）二次項係數為1 的二次三項式

直接利用公式—— x2 + ( p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 進行分解。

特點：（1）二次項係數是 1；

（2） 常數項是兩個數的乘積；

（3） 一次項係數是常數項的兩因數的和。例5、分解因式：x2 + 5x + 6

分析：將6 分成兩個數相乘，且這兩個數的和要等於5。