#數學科學#
問題的提出
對於非自相似性自變量在同一對應法則下的一元實變函數方程，通常不能用變量替換法求解，而用函數篩選法得出原實變函數的通式後，最後用待定係數法順利求解。如：根據實變函數方程f(ⅹ)+1/2f(x/2)=x^2，求f(x)。
思路分析
具體問題得具體分析，在矛盾普遍性原理的指導下，即根據原函數與其複合函數建立的函數方程(未知量為函數的方程)，求出原函數的表達式，找出並分析矛盾的特殊性，即該原函數與其複合函數的一半之和是簡單的二次函數y=x^2，可釆用初等函數篩選法得出原函數的通式，才能順利解決矛盾(問題)。
顯然，對於該未知函數(包含取值範圍內所有常數的變化數，它分為自變量和因變量)y=f(x)及衍生函數y=f(x/2)，由於自變量和衍生自變量(也稱為中間變量)為別為ⅹ和x/2，且方程右邊為ⅹ^2，其定義域可初步看成R。
其對應法則f下的倆自變量x和ⅹ/2，卻不具有結構自相似性(類似分形幾何裡的局部圖形與整個圖形在形狀上具有自相似性)，因為對於複合函數y=f(x/2)，令對應法則f下的衍生自變量(或中間變量)x/2=t時，x=2t，得到的新函數方程卻為f(2x)+1/2f(x)=4x^2，反而多了一個未知函數f(2x)，無法與已知函數方程f(ⅹ)+1/2f(x/2)=x^2聯立成關於倆未知函數y=f(ⅹ)和y=f(x/2)的二元一次方程組求解。
當然，對於同一對應法則下的自變量存在結構自相似性的倆未知函數組成的二元一次方程，都可用變量替換法順利求解。如函數方程f(ⅹ)+1/2f(1-ⅹ)=x^2(或乾脆變形為另一種不含原函數f(x)的一種複合函數方程：如f(2+x)+1/2f(-ⅹ-1)=(2+x)^2，最終也能化成此類含有原函數f(x)的函數方程)，令該對應法則f下的衍生自變量(1-x)=t後，ⅹ=1-t，代入原方程後，可化為f(1-ⅹ)+1/2f(ⅹ)=(1-x)^2，與原方程聯立後，就可輕易求解。同理，對於函數方程f(ⅹ)+1/2f(1/x)=x^2，也能與衍生函數方程f(1/ⅹ)+1/2f(x)=1/x^2聯立後輕鬆求解……
由此可知，對於這類在同一對應法則下的倆自變量結構非自相似的方程，應在函數類別與結構方面篩選出這類未知函數y=f(x)的通式。
我們都知道，初等函數都是由基本初等函數——冪函數(形如y=x^a，a為有理數)、 指數函數(形如y=a^x，a﹥0且a≠1)、對數函數( 形如y=log a x，a>0且a≠1）、 三角函數(形如y=sinx，y=cosx……)、反三角函數（形如 y=arcsinx，y=arccosx……)和常函數(形如y=a，a為任意實數)經過有限次(包括0次)加、減、乘、除、有理數次乘方和開方中至少一種運算，以及有限次(包括0次)函數複合所產生的，能用單一解析式表達的函數，如常見的多項式函數f(x)=an·x^n+a n-1 ·x^(n-1)+…+a2·x^2+a1·x+a0，(a1、a2……an不全為0或都不為0，n≥1)就是由一系列冪函數y=x^n、y=x^(n-1)……y=x和常函數y=an、y=a n-1……y=a0經過有限次乘法和加法運算得到的。
因此，根據已知函數方程f(ⅹ)+1/2f(x/2)=x^2(定義域可能為R)的結構可知，等式的右邊是x^2，把冪函數f(ⅹ)=x^a、 指數函數f(x)=a^x、對數函數f(ⅹ)=log a x、 三角函數(形如f(x)=sinx，f(x)=cosⅹ)和常函數f(ⅹ)=a的通式一一代入此方程後，等式兩邊的結構和對應法則都是風馬牛不相及，沒有任何關聯。如f(ⅹ)=sinx時，f(ⅹ)+1/2f(x/2)=sinx+sin(x/2)/2 ≠ⅹ^2(ⅹ∈R)。
顯然，把它們進行有限次加、減、乘、除、有理數次乘方和開方中至少一種運算，以及有限次函數複合所產生的任一複合函數代入此方程後，只會使等式兩邊的結構和對應法則更風馬牛不相及，也無法使該方程成立。即便是非初等函數，如常見的標準正態分布函數Φ(x)=1/√(2π)∫(-∞，ⅹ) e^(-t^2/2)dt，矩形函數rect(ⅹ)=1，|x|<1/2；1/2，|x|=1/2；0，|x|>1/2，符號函數sgn(x)=1，ⅹ>0；0，ⅹ=0；-1，x<0……也同樣如此。
因此，f(x)一定是與x^2存在相似結構(僅存在同類項x^2)的二次函數y=aⅹ^2+c(a≠0，x∈R)，代入方程得aⅹ^2+c+aⅹ^2/8+c/2=ⅹ^2，ⅹ∈R，即9ax^2/8+3c/2=ⅹ^2，比較等式兩邊，用待定係數法可知a=8/9，c=0，於是，f(x)=8x^2/9，ⅹ∈R。
當然，若把實變量ⅹ換成復變量z(z=ⅹ+yi，x、y∈R，i^2=-1，或z=re^ⅰθ=r(cosθ+ⅰsinθ)，r≥0，θ∈R)，已知方程變成f(z)+1/2f(z/2)=z^2，複變函數 w=f(z)=8z^2/9，z∈C也是該方程的一個解。
注意事項
對於該函數方程f(x)+1/2f(x/2)=x^2，當x∈A且AR時，f(x)可取無窮多個實變函數，此問題就有無窮多個答案。如定義域為{0，5/8，5/4}時，f(x)=ⅹ是原方程的解；定義域為{0，5/4，5/2}時，f(x)=2ⅹ就是原方程的解；定義域為{0}時，f(ⅹ)=0也是原方程的解……