初中數學中考備考知識梳理——幾何——三角形及相關知識

三角形

一、 關於三角形一些概念

1、定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形，相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內角；三角形一邊與另一邊延長線所構成的角叫做三角形的外角。

2、三角形中主要線段

（1）三角形的角平分線、中線、高線，均為一條線段

（2）三角形的角平分線、中線、高線、垂直平分線各有三條，且都交於一點，分別為三角形的內心、中心、垂心、外心

（3）三角形中位線：連結兩邊中點的線段。 性質：平行於一邊並且等於這條邊的一半

3、三角形三邊關係：

（1）三角形兩邊之和大於第三邊；兩邊之差小於第三邊

（2）三角形按邊分類：

4、三角形內角和：

（1）定理：三角形三個內角和等於180 º

（2）推論：三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和

（3）推論：三角形的一個外角大於任何一個與它不相鄰的內角

5、線段的垂直平分線：

（1）性質定理：線段垂直平分線上點到線段兩端點距離相等

（2）判定定理：到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，

（3）線段的垂直平分線可以看做到線段兩端點距離相等的所有點的集合

6、軸對稱和軸對稱圖形：

（1）兩個圖形成軸對稱：把一個圖形沿某一條直線摺疊，如果它能和另一個圖形重合，就說這兩個圖形關於這條直線對稱，也稱軸對稱。對應點叫做對稱點，這條直線叫對稱軸

（2）性質：①關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形；②如果兩個圖形關於某條直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線；③兩個圖形關於某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上。

（3）判定：如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這個圖形關於這條直線對稱

（4）軸對稱圖形、：如果一個圖形沿著一條直線摺疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做軸對稱圖形。

特殊三角形

一、 等腰三角形

1、定義：有兩邊相等的三角形叫等腰三角形

2、性質：（1）兩腰相等 （2）等角對等邊 （3）頂角平分線、底邊中線、高線「三線合一」； （4）是軸對稱圖形，對稱軸是底邊的垂直平分線； （5）等腰三角形兩腰上的高線、中線、角平分線相等； （6） 等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等 ； （7）等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離和等於一腰上的高； （8） 等腰三角形頂角外角平分線平行於底邊； （9）等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等於頂角的一半

3、判定：（1）兩條邊相等 （2）等角對等邊

二、等邊三角形

1、定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形

2、性質：等邊三角形的各邊相等，各角相等，並且每一個角都等於60 º

3、判定：（1）三邊都相等的三角形是等邊三角形； （2）三個角都相等的三角形是等邊三角形； （3）有一個角是60 º的等腰三角形是等邊三角形

三、直角三角形：

1、定義：有一個角是直角的三角形是直角三角形

2、性質： ①斜邊大於直角邊； ②直角三角形兩銳角互餘； ③30º角所對直角邊等於斜邊的一半（逆定理：直角三角形中如果一條直角邊是斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的角是30º）； ④斜邊中線等於斜邊的一半（逆定理：三角形中，如果一邊上的中線等於這條邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形）； ⑤勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方.

3、判定：①有一個角是直角的三角形是直角三角形 ②兩銳角互餘的三角形是直角三角形；③如果三角形的三邊長a、b、c有關係a^2+b^2=c^2，那麼這個三角形是直角三角形；④一條邊上的中線等於這條邊的一半的三角形是直角三角形。

全等三角形

1、定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形

2、性質：全等三角形對應邊相等，對應角相等

3、判定： ①邊角邊公理 （SAS） ②角邊角定理 （ASA） ③角角邊定理： (AAS)④邊邊邊定理： (SSS) ⑤斜邊、直角 (HL)