求最大公因數是小學重點掌握的知識點，不僅關係到小學重要考試，在初中數學學習中，也是很多重點知識點的學習根基。
很多同學認為在小學課本中，最大公約數已學的很透，當你認真看完這篇文章後，你會發現數學真的是一門神奇的學科。
運用能被2、3、5整除的數的特徵進行觀察。
例如，求225和105的最大公因數。因為225、105都能被3和5整除，所以225和105至少含有公因數（3×5）15。因為225÷15＝15，105÷15＝7，15與7互質，所以225和105的最大公因數是15。
先分別找出每個數的所有因數，再從兩個數的因數中找出公有的因數，其中最大的一個就是最大公因數。
例如，求12和30的最大公因數。
12的因數有：1、2、3、4、6、12；
30的因數有：1、2、3、5、6、10、15、30。
12和30的公因數有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公因數。
先分別把兩個數分解質因數，再找出它們全部公有的質因數，然後把這些公有質因數相乘，得到的積就是這兩個數的最大公因數。
例如：求125和300的最大公因數。因為125＝5×5×5，300＝2×2×3×5×5，所以125和300的最大公因數是5×5＝25。
當兩個數關係特殊時，可直接判斷兩個數的最大公因數。例如，兩個數互質時，它們的最大公因數就是這兩個數的乘積；兩個數成倍數關係時，它們的最大公因數就是其中較小的那個數。
為了簡便，將兩個數的分解過程用同一個短除法來表示，那麼最大公因數就是所有除數的乘積。
例如：求180和324的最大公因數。
因為：5和9互質，所以180和324的最大公因數是4×9＝36。
當兩個數中較小的數是質數時，可採用除法求解．即用較大的數除以較小的數，如果能夠整除，則較小的數是這兩個數的最大公因數。
例如：求19和152，13和273的最大公因數。因為152÷19＝8，273÷13＝21（19和13都是質數），所以19和152的最大公因數是19，13和273的最大公因數是13。
如果兩個數沒有之間沒有倍數關係，可以把較小的數依次除以2、3、4……直到求得的商是較大數的因數為止，這時的商就是兩個數的最大公因數。例如：求30和24的最大公因數。24÷4＝6，6是30的因數，所以30和24的最大公因數是6。
如果兩個數相差不大，可以用大數減去小數，所得的差與小數的最大公因數就是原來兩個數的最大公因數。例如：求78和60的最大公因數。78－60＝18，18和60的最大公因數是6，所以78和60的最大公因數是6。
如果兩個數相差較大，可以用大數減去小數的若干倍，一直減到差比小數小為止，差和小數的最大公因數就是原來兩數的最大公因數。例如：求92和16的最大公因數。92－16＝76，76－16＝60，60－16＝44，44－16＝28，28－16＝12，12和16的最大公因數是4，所以92和16的最大公因數就是4。
我們在求兩個數的最大公約數時，通常的方法是短除，或者分別對兩個數分解質因數，但是如果遇到兩個比較麻煩的較大的數，比如：9193和3567，我們怎麼辦呢？
我們的祖先很久之前就幫我們搞定了，那個時候信息不暢，東西方人都各自用了幾乎相同的方法，分別記載於歐幾裡得的《幾何原本》（第VII卷，命題yⅠ和Ⅱ）和《九章算術》「更相減損術」中。
《幾何原本》記載：
設有不相等的二數，若依次從大數中不斷地減去小數，若餘數總是量不盡它前面的一個數，直到最後的餘數為一個單位，則該二數互素。
《九章算術》「更相減損術」：「可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。」
那麼我們用最開始的例子做個計算。
9193和3567，先用9193÷3567，商2餘2059，再用3567÷2059，商1餘1508，2059÷1508，商1餘551,1508÷551，商2餘406，551÷406，商1餘145，406÷145，商2餘116，145÷116，商1餘29，116÷29，商4除盡。所以最大公約數 29。
低年級的小朋友可以用91和49試一試。
這就是輾轉相除法，大家是不是又新技能get√了！
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