不定積分

          不定積分，是微積分裡一個重要的計算。也是大家在爽了導數之後，遇到的第一座大山！今天，本帥就帶領你們翻過這座大山！

就是要膽兒大！

管你3721，往前衝。

做錯了不要緊，有本師護著，死不了！

就怕不敢衝的！有痛才有領悟！

追本溯源，我們先來看看不定積分的定義。

定義：若F'(x)=f(x)，我們稱F(x)為f(x)的一個原函數。f(x)的不定積分，定義為f(x)所有的原函數（的集合）。記為

         

換句話說，一個函數的不定積分，就是很多原函數構成的。而求原函數，就是把求導逆過來做！

但這一逆過來不打緊，大部分人腦子就轉不過來，包括我。所以，我們需要有具體的手段去求不定積分！

任何一種計算辦法，都是化難為簡。

你使用的手段，也往往依照這個原則。

大家好好體會，不僅僅是不定積分，還有定積分，極限，級數等等，甚至現實生活中，我們也是這麼處理問題的！

目錄：

0. 坑爹的不定積分

1. 線性性（常用易掌握，大家都喜歡）

2. 分部積分法(基本方法)

3. 有理函數的積分（常見模型）

4. 湊微分法（第一換元法）（基本方法）

5. 第二換元法（基本方法）

0. 坑爹的不定積分

  有些看上去很美好的函數，例如 x/sinx，你知道它的不定積分存在，，可是＊＊＊就是算不出來！好氣哦 ，有木有！

    其實有很多函數，它的原函數存在，可是就是不能用初等函數表達！

  （畫外音：等等，這句話好繞口！難道函數不都是初等函數樣嗎？

             答：你相信？反正我是不信了！）

    下面，本帥把從網際網路上收集到這種坑爹的不定積分，與大傢伙一起分享分享。以後再看到這種類型的，一定要繞道啊！不要死磕！

(哭！本帥學藝不精，曾經在課堂上死磕過！結果可想而知！臉都被抽腫了！)

好了，終於從霧霾中走出來了，下面開始介紹一些常用的計算辦法。

不定積分的線性性

成立的前提是，f和g都有不定積分！

      這個性質在計算不定積分時，經常用！一般都是把難計算的不定積分，轉化為一個個容易計算的不定積分。例題就不說了，看書。

2. 分部積分法

     這是一個很有效的計算積分的辦法！一定要掌握！

    從本師的教學經驗來看（別丟雞蛋！），初學者（就是你們了！）往往在兩個地方犯難：

     （1）不知道怎麼湊微分

     （2）不知道把誰當u，誰當v

對於第一個問題，犯難的同學，往往是常見導數表沒記熟練！常見導數表必須記得牢牢的！怎麼記？大家都說高考過來的，不用我教——吃飯睡覺洗澡上廁所談戀愛打遊戲時，都默默的記幾個導數，15天必有奇效！

對於第二個問題，我們總結了一些規律

另外，一個不定積分的計算，可能需要好幾次分部積分。我們來道普通的例題。

後面大家都會，不貼了，給大家省流量！

3. 有理函數的積分

        有理函數的積分，是一類常見的不定積分。它有一套通用的辦法求解，並且很多不定積分，經過適當的換元後，可以轉化成有理函數的不定積分來計算！所以，這種類型的不定積分，一定要掌握！

，其中P和Q是x的多項式函數。

這個類型的積分，主要是通過拆項，化成簡單的不定積分來計算。

下面的步驟，其實就是教你怎麼拆項。（當然了，如果你能很快的拆出來，自然不用生硬的套下面這個步驟）

(1) 用輾轉相除法，將被積函數化成一個多項式和「真分式」的和：

(2)  

h(x)是多項式函數，積分不要太簡單！現在就是要計算右邊這個積分了。

(3)                        
對Q(x)因式分解。因為我們考慮的是實係數多項式，由代數學基本定理及韋達定理知，多項式Q(x)一定能分解成下面兩種類型的因子的乘積：

(4) 利用待定係數法，將r/Q拆分，拆成簡單的分式的和。舉例說明：

然後，右邊通分，比較等式兩邊分子的係數。

這樣就會得到待定係數的一個一次方程組，解之（非常簡單），算出待定係數。

等式右邊第一排的積分非常好求，是不是？

神馬？藍色積分不會求？！好，我用一個例子來告訴你。

神馬！紅色積分也不會！好吧，其實我也是剛剛才知道。熱乎乎的分享給你們。（為簡單起見，係數弄的簡單些）

後面都會，不寫了。記得反帶回去，最後要是x的表達式！還有每日＋C！

什麼？你問紅色積分裡，被積函數的分子裡有x項，你上面沒有出現，這是怎麼回事？

答：類似藍色積分的處理，把x項配掉。

對於我們醫科的同學來說，這種複雜的積分，頂多到分母2次了。高次的情形，有遞推式，較複雜，我們就略過不提了。

4. 第一類換元（湊分法）u=g(x)，主要是要記牢常見的求導公式，然後多從右往左看。

例子不舉了，其實上面例子裡就有。找找看。

5. 第二類換元，x=u(t)

要注意，u(t)必須是單調的！所以一般要指明t的取值範圍。

這裡，換元的技巧非常多，本師也只掌握了其中一些常用的。

(1) 倒代換 x=1/t

使用的對象特徵很明顯

來個例子

t<0時，類似處理（注意開根號時候，小心），最後再下結論。

(2)
這種形狀的積分，直接換元掉根號。

例子說明一切！

省流量，後面不寫了。（這題當然可以用三角換元了。）

(3) 三角換元

      這是讓大家又愛又恨的積分法。愛是因為它實在是太好用了，恨是因為它實在是太多選擇太多恆等變化了！

這種情況，用合適的三角函數去換元。注意，換元的目的，在這裡是為了去掉根號，以便達到簡化被積函數的目的。知道這一點，你就知道如何選擇三角函數了。另外，注意新變量的取值範圍，以保證單調性。

書上有太多這樣的例題，這裡不列舉了。

下面主要和大家分享下三角函數有理式（三角函數的乘除）的計算技巧。

(i)遇奇次冪，拿一個出來，湊到微分裡

(ii)都是偶數次冪，倍角公式降冪

(iii)積化和差公式

(iv)當三角函數冪次較低時，使用萬能公式換元

(v) 配湊法

解之，得I_1,I_2.

ps：本帥水平較次，這從本公眾號的打臉圖，就可見一斑。若文章裡有什麼毛病，請不要猶豫的留言！也歡迎作出評論！

還是之前的推文，略作修改。