他，是一位數學家，出生在敖德薩，成長在莫斯科，年少成名，之後旅居西方法國和美國，名叫阿諾德（VLADIMIR IGOREVICH ARNOLD 1937-2010）。
說他「科研輝煌」，是指他的研究大多是「從0到1」式的突破，因此拿獎多多，從前蘇聯的最大獎項-列寧獎（1965年），到西方的沃爾夫數學獎（2001年），以及邵逸夫科學獎（2008），涵蓋領域之廣，獲獎之多（著名大獎達十餘項），在當代數學界是很罕見的。
說他「教學輝煌」，具有兩個方面的特殊含義：
其一，「教學」一詞，在不少人眼裡，是不屑一顧的，只顧全力以赴地寫論文、拿課題、爭銜頭。而阿諾德偏偏不一樣，它身體力行，切實關注學生和年輕人，除了撰經典般的教科書外，並不忘卻用身邊的事例，講解數學的魅力和偉力。例如，他用母語寫了一本書，經人翻譯為英文，書名是《Mathematical Understanding of Nature-- Essays on Amazing Physical Phenomena and Their Understanding by Mathematicians（用數學理解自然---數學家對驚人物理現象的闡述和理解）》（以下簡稱《理解自然》）。書中共39章，包含的問題，從彩虹、海市蜃樓、自行車、旋轉的液體，直到絕熱不變量、力學不適定問題等等，彰顯出他那好奇心的胸懷，廣闊的視野，化解問題的強力，令人嘆服！
例如，他曾通俗地講解了「船舶靠岸」問題，為了避免船舶與堤岸碰撞，穩妥的辦法就是讓船舶的速度設計為距離的平滑（線性）函數，也就是說，船舶離堤岸越近。其速度就越慢。從理論來講，這樣永遠也抵達不到堤岸（如同莊子說的，尺長之棰，日取其半，萬年不竭。），從而需要人工加以協助。他說，這類問題，看似平常的很，但是到了自動控制時就成了須認真對待的大問題，如火箭在其他星球著陸，飛船與空間站對接等。這樣的聯想和引導，令人腦洞大開。
其二，「教學」一詞，緊扣人才，是指阿諾德對人才的期望是迫切的，見解是獨到的，付出是很具體的，導向是到水平的。對此，他專門寫了一本書，為熱愛數學的青少年，精心挑選了數學問題，用以提升這些人的數學素養。該書書名是《Problems for Children from 5 to 15（獻給5至16歲少年兒童的數學問題）》（以下簡稱《數學問題》）
阿諾德在書中語重心長地說，「我深信，這種文化（譯註：指俄羅斯的傳統思維文化）最重要的培養路徑，就是通過早期對類似於下面的簡單但不容易的問題，進行獨立思考培養出來的。」在這裡面有兩點很特殊，一是強調自己民族的文化傳統，二是並不歧視數學成績不好的孩子。他是這樣鼓勵這些往往容易自卑的少年：「我的長期經驗表明，在學校落後的傻瓜，在解決問題上，往往比優等生更好，……我還注意到，五歲的孩子與那些被教練寵壞的學生相比，能更好地解決類似的這些問題，…..」
我翻閱這本書時，曾心生疑問：為什麼是從「5歲」開始？上面引用的阿諾德那句話，便回答了這個問題，原來，他依據的正是他自己的切身體驗，包括從記事的5歲時開始。
這是一位教授，了不起的教授，真真正正的教授。他在學校裡，在社會上始終不忘獻身教育事業，身傳體教，孜孜不倦，他直接培養的幾十位博士生，至今活躍在世界各地，一個個都成為了學界的中堅，而受其影響的學生，就更是不計其數了。
一、那墓碑，竟然像一塊黑板
我第一次看到阿諾德的這塊墓碑（見圖1），足足愣了好幾分鐘。這哪裡是墓碑啊，上面根本就沒有什麼「千古」啊，」不朽「啊，這類俗套的文字。恰恰相反，上面密密麻麻寫滿了數學符號啦，公式啦，幾何圖形啦，還有橫七豎八的句子，以及整段引用的文字等。在我的眼裡，這墓碑，分明就是矗立在大地上的一塊黑板。
阿諾德，他在生前，做出那麼多令人讚嘆的數學成就，離世之後，能有這樣的舉動，同樣也是驚世駭俗的。因為，這似乎是在提醒人們，他永遠在踐行著一位教師的責任，不分白天與黑夜，不停頓地思考著、比劃著、敘述著，向人們講述著迷人的數學故事，……。
圖1 阿諾德的陵墓（在莫斯科） 來源 《阿諾德》（下同)
這張圖片出現2014年出版的《Arnold：Swimming Against the Tide (阿諾德：迎著大潮而上的泳者)（簡稱《阿諾德》）這本書裡。該書是阿諾德2010年去世之後，他的學生與朋友出版的紀念文集，並包括阿諾德本人的一些著述。
請注意，墓碑上阿諾德雕像下方，刻有一段文字，看似俄文。《阿諾德》的編者，在提供這張圖片時，附上了這段俄文的英文翻譯：
The inscription on the tombstone is from Arnold’s paper about Pushkin. It reads: 「As a mathematician, I constantly have to base my work not on formal proofs but on feelings, guesses, and conjectures, going from one fact to another by means of a special kind of illumination which allows me to see common traits in phenomena that to an outsider appear totally unrelated.
其內容是來自阿諾德關於普希金的論文：「作為一個數學家，我不得不經常地將感覺、猜測和推測，而不是將形式上的證明，作為自己工作的基礎，並藉助於特殊一類的闡釋，讓我從一個事實轉移到另一個事實，從而讓我看到了現象的共同特徵，而這對於局外人來說，這些現象卻是完全不相干的。」
我在研讀有關阿諾德資料的過程中，並沒發現他與詩歌，與詩人普希金的關係。作為詩歌的業餘愛好者，這段文字更加強了我研讀阿諾德的興趣。遺憾的是，我並沒有搜索到進一步資料。然而，墓碑上，這短短的幾句話，已經很清晰地把數學與詩歌的共特徵，講得很清楚、很深刻了。
阿諾德在1995年接受採訪時（採訪內容於1997年登載在美國數學學會的雜誌《NOTICES》四月刊上），他曾這樣描述俄羅斯知識分子精英群體的胸懷：
「俄羅斯人對知識、科學和數學的態度一直保持著俄語「Intelligentsiya"這個詞的古老傳統。這個詞在其他語言中是沒有的，因為在其他國家不存在一個類似的由學者、醫生、藝術家、教師等組成的階層，他們永遠把為社會作貢獻為先，個人名利在後。」
就年齡而言，筆者與阿諾德屬於同一時代，我年輕時也讀過普希金的詩歌，對這個詩人的抱負，以及關於俄羅斯民族的看法多少有一些了解。因此，當我讀到上述那段文字後，我便進行這樣的思考：阿諾德與普希金這兩個不同領域的「大人物」，具有哪些「共同特徵」呢，不僅僅在詩歌與數學的表述形式上，而且在共同的情懷上？
普希金比阿諾德早100幾十年，曾以《論俄羅斯文學之貧困》為題，站在世界文化的高度，深刻地評述了俄羅斯民族的歷史遺憾：「如果說，俄羅斯文學沒有提供多少值得文學批評界矚目的作品，那麼他自己（就像人類歷史任何其他現象一樣）就應該去吸引那些嚴謹的探索真理的人的注意。」緊接著，普希金又指出「俄羅斯長期置身於歐洲大局之外。」這樣的一個悲酸的歷史事實。普希金這段論述，具有一種氣概，是挺身而出，以自己的作為當成擔當的民族氣概，這一點實在彌足珍貴，令人佩服和仰視！
在上面提及的那次採訪中，阿諾德談到他在巴黎申請美國籤證時的遭遇，當得知籤證要延時三周後，他便問籤證官「為什麼？」，回答是, 你被列入「donkey (驢子)」之列進行審查。他對採訪記者深情地說，我是「驢子」啊，這就是他們對俄羅斯科學家的別稱。要知道，那時阿諾德已經是世界知名的數學家了，而且他在前蘇聯時期，也因講了不少公道話，受到當局的審查。
對此，我們可以設想，普希金上面那段話語，即「那麼他自己就應該去吸引那些嚴謹探索真理的人的注意。」，極有可能（我說的之是可能，因為並沒有直接的論據）在阿諾德內心深處，會引發何等強度的共鳴。是的，一個民族要其他民族尊重自己，就要自己首先能站立起來，並努力地要站得得更高。事實上也的確如此，阿諾德和普希金，他們都以自己的智慧、擔當和努力，做出了讓世界矚目的成就，贏得了世界的尊重。
那塊如同黑板一樣的墓碑，正是數學大師一生獻身數學教育事業的生動寫照，著重於阿諾德對教育的分析和看法，正是本文的主旨。下面，我們將以他成長的高光亮點，以及對培養人才的傑出作法等，進行簡要的評介，供人們思考和借鑑。
二、飛快成長的高光亮點
1、五歲時，對數學的興趣開始萌動
他說，自己記憶裡，從五歲開始就對數學產生興趣。他解釋說，這是俄羅斯數學傳統帶來的結果。那樣年紀的孩童，儘管對數字一無所知，但是對一些數學問題，卻非常喜歡。更令人不可思議的是，他不僅喜歡，還可以求解，給出答案。阿諾德是這樣，他的同學，也大都是這樣。正因此，阿諾德《數學問題》這本書的對象，恰恰是要求從「五歲」開始。
2、興趣的「引擎」在「DNO」中獲得加速推力
孩童的興趣，來得快，去得也快。因此，如何精心維護，是很敏感、很關鍵的問題。
阿諾德說，前蘇聯繼承俄羅斯的文化傳統，非常重視青少年，尤其是對聰明超群的兒童，進行數學思維的培養。「兒童學習聯誼會（Children’s Learned Society）」是專門針對超群少年的組織，簡稱「聯誼會（DNO）」。從小就被稱為「神童」的他，參加了在數學家李雅普諾夫的家裡組織的這個「聯誼會」。這聽起來有點像現代化的「私塾」，但學習的內容卻很全面。在DNO學習的課程，包括數學和物理，還有化學和生物學、遺傳學（後者因政治原因後來被禁止講授了）。
他敘述了對他啟蒙教育頗有影響的一件事情。十二歲時，學校老師給他布置一個「路人求時問題」：兩位老婦人同在日出時出發，每人以不同速度勻速相向行走。一個從A到B，另一個從B到A。他們在中午真好相遇，然後繼續前行，分別於下午4點，晚上9點抵達各自的目的地，問日出是什麼時候？
阿諾德說，他花了一整天的時間思考這些老式數學問題，最後解決了，非常高興。因為當時他們還沒學代數，是憑藉思考推理和判斷解決的。從此，這給他留下了一個重要啟示，並影響其一生。因為，長大後所碰到的數學大問題，其解決的基本套路，和這個問題幾乎一樣：在新問題之前，沒有現有的方法可以依賴，完全先靠思考推理，後靠數學演繹硬闖出一條大路。正因此，阿諾德將這個問題，收入《數學問題》一書中，希望年輕的後來者，也能同他一樣，掌握這樣的思維智慧。
在《阿諾德》一書中，他的同學形容阿諾德解決數學問題的方式，說他對於一個新問題，開始總是」赤手空拳」去應對，經過一番思索和推演後，便能拿出了一套套嶄新的方法。
筆者細細尋思，阿諾德的「路人求時」問題，與我國古代的「雞兔同籠」、「韓信點兵」等問題也是一樣的。例如就「雞兔同籠」問題而言，也是通過思維推理，把問題轉變為熟知的認知，如利用乘法與面積關連起來，再利用傳統中國傳統數學的「出入相補」的辦法，一步步將問題簡化，最後導出答案。那其中的思維樂趣和作用不是後來的代數方程式的解法可以完全取代的。
阿諾德說，這讓他受用了一輩子。60多年前華羅庚先生給我們講高等數學時，不忘給我們講「韓信點兵」，同出此理，睿智滿滿。
圖2 阿諾德（前左二）於1948年與同學在「少年學習聯誼會」
3、大師如雲的求學」黃金年代」
阿諾德於1954年進入莫斯科大學數學力學系學習。他回憶說，這麼多的大數學家雲集在同一個系裡是很罕見的，這種盛況我再也沒有在其他地方見到過。Kolmogorov, Gelfand, Petrovsky, Pontryagin, P Novikov, Markov, Gelfond, Lusternik, Khinchin and P S Aleksandrov等，都在教我們這些學生，這些教授們，一個個都非同凡響。
是的，這些如雷貫耳的名字，我們在上大學的時候就很熟悉了。因為，華羅庚先生給我們上課時，他是一邊講課，一邊寫講義，對於我們的啟發非常大。但是課後離不開去圖書館裡看參考書，這些從前蘇聯翻譯過來的教學參考書幾乎都是綠色封面的，我們都簡稱為「綠皮書」。阿諾德能夠直接在這樣的開放的、濃濃的學術環境裡學習，在學識上打下了面廣根深的紮實基礎，讓他早早地就進入數學最前沿的大問題。
4、博士論文拿下世界級的希爾伯特問題
阿諾德在大學三年級時，在他的導師科爾莫戈羅夫的啟發下，開始研究希爾伯特第十三個問題，涉及到幾個變量的函數的疊加以及相關的變換，難度很大。這項工作最終成為阿諾德的博士論文。
人們都知道，希爾伯特在1900年提出的23個問題，是公認指導世界數學發展的重要導向，每一個問題的解決，哪怕是部分解決，都會在世界上引起強烈反響。
美國數學家兼慈善家Jim Simons創辦了Simons Foundation，致力於支助在數學和物理學領域有前途的青年才俊，其中也有中國年輕的留美才俊。在其網站上展示了希爾伯特23個問題至今進展情況。關於這個第13問題，明確記載了阿諾德的研究成果。此外，一些著名大學，如劍橋大學開設了專題課程，講解阿諾德和他的導師科爾莫戈羅夫關於希爾伯特第十三個問題的研究方法和影響。
此外，根據阿諾德的同級學友回憶，在莫斯科大學時，他還在私底下自己重現了法國數學家伽羅瓦建立群論的路徑，而在這之前，他根本沒有看到過伽羅瓦的資料。在科研上，阿諾德的原創衝擊力之大，由此可見一斑。
2002年，當阿諾德65歲的時候，《華爾街日報》從科學研究和教學成就兩個方面，給予了很高評價：
「阿諾德是世界上最優秀的數學家之一，……如果沒有他在動力學系統、經典力學和天體力學、奇點理論、拓撲學、實代數幾何, 以及代數幾何、辛幾何、流體力學、變分微積分、微分幾何、勢理論、數學物理、疊加理論等方面的工作，現代數學的面貌將是無法辨識。」我掰著手指頭數了一下，這段短短的評論中一個個點到的領域一共多達14個之多，要知道，每一個都是很不容易對付的領域。
對於阿諾德在教學上貢獻，同樣評價極高：「阿諾德是一位難得的教師，……他有一個特殊的天賦，善於發現新的美麗的問題，讓年輕的研究人員倍感興趣，欣然投入其中。……那些困難的現代理論一旦經他論述中，立即變得清晰和簡單……。」
三、阿諾德關於的數學研究與教學的主要觀點
1、數學研究的對象，是「充滿活力的有機體」
阿諾德之所以這樣說，因為，他非常看重數學與物理的緊密關係，認為後者會給前者帶來極大刺激與活力。他甚至說「數學是物理的一部分。」
他把數學的定理、問題、猜想和理念，甚至錯誤，等生動地比喻為生長在地面上的蘑菇，以及地表之下土層中的相關因素，並用圖表示如下：
圖3 數學理念蘑菇圖
阿諾德這樣解釋說：「當你採集蘑菇時，你只看到蘑菇本身。如果你是一個真菌學家，你便知道真正的蘑菇是埋在地底下的。地表下面有著一大堆東西呢，你所看到的僅僅是果實，你想要吃的東西。
數學正是這樣，蘑菇的地表上的部分對應於你看到的定理，可是你卻看不到地表下的東西，那是問題、猜想、錯誤、想法等等。」
阿諾德把這歸功於民族的傳統，他說，「這是俄羅斯的數學傳統。」他的導師這樣影響了阿諾德，然後他又影響他的學生，以致學生的學生。人們絕不會想到，科爾莫戈洛夫進大學時本不是學數學，而是學歷史的。人們也不會想到，科氏領導的討論班，幾乎都有物理領域的優秀學者一起來參加討論。因此，阿諾德將俄羅斯與西方做了這樣的對比：「一個學者涉獵較廣，在西方學界會看成一大缺點，而在俄羅斯恰恰相反，一個學者研究領域太窄，卻會看成不足。」這是俄羅斯學術傳統的明顯特點，即便在文化上受到孤立的狀態下，仍然能培養出不少偉大的數學家。
值得指出的是，阿諾德明確反對在數學教學中只強調抽象邏輯推演，甚至大力抨擊，其對象從布爾巴基學派，直至現今法國最高數學學府。在筆者看來，這種抨擊做得過分了。布爾巴基學派雖然後來式微了，但是同樣湧現了一批偉大的數學家。更不用說，該學派在哲學理念上的「整體論」，在結構上努力構建各個分學科的「互通關係」，也是系統科學極其重要的理念寶藏。
2、注重幾何拓撲的洞察力
毫無疑問，邏輯推理的思維能力，在數學研究中具有重要的作用。但是阿諾德認為，這遠遠不夠，還得依靠幾何帶來的「洞察」能力。他還強調，只有這樣才能充分發揮人體大腦兩部分的能力。他在大學聽科爾莫戈洛夫講課時，就發現有地方推演過不去。他的導師說，好，你給補上。結果阿諾德就把這個漏洞「補」上了，而且解決了大問題。
他的學生在回憶中說，同學們都深深記得，阿諾德告訴他們的「訣竅」是：在邏輯推演寸步難行的時候，好好去想想它的幾何拓撲問題。本文中提及阿諾德寫的書，都是「圖文並茂」的，那些清晰、透徹的幾何圖形，都是他親手繪製的。
3、引領學生做從「0」到「1」的原創性大問題
圖4 阿諾德與他的學生在一起
阿諾德與學生交流，都是以研討會的形式進行，每周一次，每次兩小時。每學期研討會開始的時候，都是選定相關的開放性問題，即尚沒解決的大問題。阿諾德一生，精心挑選了多達十幾個這類開放性問題。他說，一個問題的「半衰期」大約是7年，二十多年（注意，不是三五年，而是二十多年）堅持下來，這些問題後基本上都被解決了，或部分解決了。這是多麼了不起的事情。他風趣地說 「為他們選擇一個問題，就像為兒子選擇新娘一樣。」他以這樣方式，體現出對學生的真正慈愛，令人動容和敬仰。
他，就是這樣引導學生打開了一扇又一扇，從「0」到「1」數學創新的大門。更令人感動的是，在論文署名上，他幾乎從不添加上自己的名字，因為他認為，我把問題交給學生了，主要應該由他們自己去做，去完成。
一流大師難求，這樣的一流導師，更加難求啊！
4、深入淺出的講課之道
這一點，對於打破數學的「神秘感」，讓更多人理解數學，喜歡上數學是非常重要。對此，他特別舉了法拉第（M. Faraday）的一句名言：
「Lectures which really teach will never be popular; lectures which are popular will never teach. （正經巴兒地講課從來不會受歡迎，而受歡迎的講課從來不正經巴兒）。」
阿諾德進一步說，「這種法拉第效應很容易用玻爾的說法來解釋：清晰和真實，乃是量子互補關係。」也就是說，要以「清晰」的淺出，確保「真實」的深入。
以筆者自身的從教經驗來看，「不正經巴兒」的講課，那就是，在講解「知識（即真實）」的過程中，關鍵在於同時傳遞好「智慧（即淺出）」。在具體做法上，這要根據具體內容和講課人背景而定，如強調來龍去脈、突出難點跨越、給出跨界應用等，不僅要引發聽眾的興趣，更要引領聽眾的視野。
5、個性勇猛、堅毅、頑強
在《阿諾德》一書中， 他的大學同學回憶到「在我的一次訪問中，有人給我看了一個在建築物後院的帳篷，阿諾德就在那裡過夜，即使在寒冷的天氣裡。」在莫斯科的寒冬，戶外是相當寒冷的，但是對於他住帳篷一事，他從來沒有向同學提及過。
阿諾德從年輕時開始，就一直酷愛旅行、爬山和滑雪，一次滑雪往往長達二、三十公裡。他的同學講了一個非常奇特的經歷：
「有一次，在高加索山脈爬山，我們和一些牧羊人在他們的帳篷裡度過了一夜。早上我們發現牧羊人走了，留下我們和他的狗群在一起。高加索的狗，個體巨大、強壯，而且兇猛，因為要被培育和訓練它們來和狼對抗。我們被這些狂吠的狗包圍著，我們不知道該怎麼辦。突然，阿諾德有了一個主意。他開始用他能想到的所有猥褻的話對著這些狗大聲吼叫。…..」意想不到的是，這竟然把這些兇狠的狗給「震「住了，「堅持到了主人回來，大家得救了。」
這一幕，讓人們從阿諾德身上，看到了「戰鬥民族」那勇猛的影子。
圖5 阿諾德在郊野
阿諾德說，「嚴肅的數學研究需要長距離賽跑的耐力「，每每當他思考感到疲倦時，就跳下樓去，或去滑雪，或去遊泳，或去爬山等。他回來後，又充滿精力投入數學懷抱。
當俄羅斯《Kvant》雜誌（譯註：一個對俄羅斯青年學生影響很大的數學文化雜誌，意為「量子」）採訪阿諾德時，婉轉問他，前蘇聯的政策對數學和科學帶來了什麼影響和變化？他引用了克雷洛夫的寓言《橡樹下的豬》來作為回答。並指出「20世紀30年代和40年代，數學在這個國家受到了影響比其他科學要少一些。」雖說，他當年所處的莫斯科大學的盛況已難以重現，但是很多有志有為的知識分子投身到他們喜愛的研究工作之中，金錢雖然不多，但是「Money，not all!（金錢嘛，無關大局）「
阿諾德這些話，不禁讓我想起佩爾雷曼（Grigori Perelman），這位拒絕領取菲爾茲大獎，與世界主流學界文化「逆向」而行的俄羅斯青年數學家。
該雜誌在訪問阿諾德之後，將克雷洛夫《橡樹下的豬》這個寓言，改寫為散文詩，附在採訪文稿的最後，我便將此詩歌翻譯成中文，作為本文的結尾。
圖6 橡樹下的豬 來源：網絡
The Hog Under the Oak
A Hog under a mighty Oak
Had glutted tons of tasty acorns, then, supine,
Napped in its shade; but when awoke,
He, with persistence and the snoot of real swine,
The giant’s roots began to undermine.
"The tree is hurt when they’re exposed.」
A Raven on a branch arose.
"It may dry up and perish—don’t you care?」
"Not in the least!」 The Hog raised up its head.
「Why would the prospect make me scared?
The tree is useless; be it dead
Two hundred fifty years, I won’t regret a second.
Nutritious acorns—only that’s what’s reckoned!」—
「Ungrateful pig!」 the tree exclaimed with scorn.
「Had you been fit to turn your mug around
You』d have a chance to figure out
Where your beloved fruit is born.」
Likewise, an ignoramus in defiance
Is scolding scientists and science,
And all preprints at lanl_dot_gov,
Oblivious of his partaking fruit thereof.
橡樹下的豬
橡樹下的一隻豬
用美味的橡果填飽了大肚，然後，仰臥著，
在樹蔭下入睡打呼；一旦醒來，
他，不屑一顧，氣壯聲粗，
碩大的樹根，始有搖動。
「樹幹皮破，大樹怎樣維護？」
一隻烏鴉在樹枝上叫著。
「天不下雨，樹會幹枯——你怎不擔心生路？」
「一點也不！」豬抬起頭說。
「今後的日子，有什麼好畏懼？
大樹已沒用處，就讓它死去；
哪怕兩百五十年，我一秒鐘也不加思顧。
只有那營養豐富的橡果——才是我心愛之物「—
「忘恩負義的，豬！」樹輕蔑地哼道。
「你轉過身來看看
就不會如此糊塗
便知果實生長在何處。"
一個同樣無知的蔑視者
把指責對著科學家和科學，
也對著那些文本資料，種種藍圖
卻不記得，你自己曾享用果實無數。
圖7 阿諾德背影
尾聲
望著遠去的背影，
追問阿諾德：
背包裡，還裝有何物？
手中的稿紙，又是哪個難題的藍圖呢？
（按語作者顏基義是中國科學院大學教授 歐亞系統科學研究會會長）
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