線性代數ch1_1 二階與三階行列式

2021-03-01 五星學堂

1. 行列式的概念 [了解]

2. 二、三階行列式計算的對角線法則（掌握）

第一節 二階與三階行列式

一、二階行列式的引入

引例1 用消元法解二元線性方程組

兩式相減消去 得

類似地，消去 得

分母由方程組的四個係數確定.

定義 由四個數排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數表

二階行列式的計算——對角線法則

為了記憶該公式，引入記號

並稱之為二階行列式. 其中稱為行列式的元素, 的兩個下標表示該元素在行列式中的位置，第一個下標稱為行標，表示該元素所在的行，第二個下標稱為列標，表示該元素所在的列，常稱為行列式的(i ,j )元素或元.

則二元線性方程組的解為

注意  分母都為原方程組的係數行列式.

例1求解二元線性方程組

二、三階行列式

引例 2  用消元法解關於 x,y,z 三元線性方程組

    為了得出三元線性方程組的求解公式，可引入三階行列式定義:

定義 設有9個數排成3行3列的數表

（6）式稱為數表（5）所確定的三階行列式.

注意: 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號．

2. 三階行列式包括3!項,每一項都是位於不同行, 不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負.

 利用三階行列式求解三元線性方程組

 如果三元線性方程組

的係數行列式

則三元線性方程組的解為:

例２ 計算三階行列式

 解: 按對角線法則，有

例3 求解方程

解: 方程左端

例  解線性方程組

解: 由於方程組 的係數行列式

同理可得

故方程組的解為:

三、小結

二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.

三階行列式計算還可用：沙路法

【拓展閱讀】

《線性代數》課程簡介

線性代數是代數學的一個分支, 主要處理線性關係問題. 線性關係是指數學對象之間的關係是以一次形式來表達的. 最簡單的線性問題就是解線性方程組. 行列式和矩陣為處理線性問題提供了有力的工具,也推動了線性代數的發展、向量概念的引入, 形成了向量空間的概念，而線性問題都可以用向量空間的觀點加以討論。因此向量空間及其線性變換，以及與此相聯繫的矩陣理論，構成了線性代數的中心內容.線性代數的特點是研究的變量數量較多, 關係複雜, 方法上既有嚴謹的邏輯推證、又有巧妙的歸納綜合,也有繁瑣和技巧性很強的數字計算. 學習中, 需要加強這些方面的訓練。線性代數作為一個獨立的分支在20世紀才形成, 但是它的歷史卻非常久遠。「雞兔同籠"問題實際上就是一個簡單的線性方程組求解的問題。最古老的線性問題是線性方程組的解法，在中國古代的數學著作《九章算術方程》章中，已經作了比較完整的敘述，其中所述方法實質上相當於現代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換,消去未知量的方法。由於費馬和笛卡兒的工作，現代意義的線性代數基本上出現於十七世紀。直到十八世紀末，線性代數的領域還只限於平面與空間。十九世紀上半葉才完成了到n維線性空間的過渡。隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，行列式和矩陣在18~19世紀期間先後產生, 為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動了線性代數的發展。向量概念的引入，形成了向量空間的概念。凡是線性問題都可以用向量空間的觀點加以討論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯繫的矩陣理論,構成了線性代數的中心內容。矩陣論始於凱萊，在十九世紀下半時, 因若當的工作而達到了它的順點。1888年，皮亞諾以公理的方式定了有限域或無相維線性空間，託普利茨將線性代數的主要定理推廣到任意體(domain)上的最一般的向量空間中。線性映射的概念在大多數情況下能夠擺脫矩陣計算而不依賴於基的選擇。不用交換體而用未必交換之體或環作為算子之定義域,這就引向模(module)的概念，這一概念很顯著地推廣了線性空間的理論和重新整理了十九世紀所研究過的情況。「代數」一詞在中文中出現較晚，在清代時才傳入中國，當時被人們譯成「阿爾熱巴拉」，直到1859年，清代著名的數學家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為代數學"，之後一直沿用。

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