給出二面角的餘弦值,問B點是否存在?這樣的題一般規律在這

2020-12-17 玉w頭說教育

原題

原題：如圖，在等腰直角三角形ADP中，∠A=90度，AD=3，B，C分別是AP，DP上的點，且BC∥AD，E，F分別是AB，PC的中點，現將△PBC沿BC折起，得到四稜錐P-ABCD，連接EF。

⑴證明：EF∥平面PAD.

⑵是否存在點B，當將△PBC沿BC折起到PA⊥AB時，二面角P-CD-E的餘弦值等於√15/5？若存在，求出AB的長；若不存在，請說明理由。

圖一

這道題分為兩個問題， 每一問都存在自己的知識點，且它們不相關，所以下面分別說明。

第一問

第一問是證明直線EF∥平面PAD。

對於證明直線與平面平行的題，一般都是在該平面內找到與該直線平行的直線，再通過線與線平行得出線面平行。

然而這道題是不容易根據線線平行去證明線面平行的，同時也很容易出現錯誤。

錯誤思路

因為E，F分別是AB，PC的中點，所以很多同學會取PD的中點M，連接AM，就認為AM應該是與EF平行的。

圖二

但是這樣的做法是錯誤的，因為這裡的AM和EF是不平行的，如果它們平行，則說明它們是共面的，但是它們不共面。

因為F，M分別是PC和PD的中點，所以FM∥CD，如果AM和EF在同一個平面內，則CD∥面AEFM，但是CD和AE是有交點的，且AE在平面AEFM中，所以CD與面AEFM存在交點，這就出現了矛盾。

所以AM和EF是不能在同一個平面內，即AM與EF不共面，所以FM與EF是不平行的，即這樣的證明方法就是錯誤的。

那如果我們在平面PAD中找不到或者不好找到直線與EF平行時，該怎麼證明EF∥平面PAD?

這種情況下，我們通常是藉助面面平行的方法去證明線面平行，即如果我們能證明直線EF所在地面與面PAD是平行的，則EF∥面PAD。

圖三

所以取CD的中點G，連接FG和EG，則EG∥AD，FG∥PD。

又因為EG和FG是相交直線，AD和PD也是相交直線，所以面EFG∥面PAD。

因為EF在平面EFG中，所以EF∥面PAD。

第二問

第二問就是「是否存在點B，當將△PBC沿BC折起到PA⊥AB時，二面角P-CD-E的餘弦值等於√15/5？若存在，求出AB的長；若不存在，請說明理由。」

思路

像這樣的題，我們一般都是先假設存在這樣的點B，因為這裡「如果存在求出AB的長度」，所以我們還要設出AB的長度，然後根據PA⊥AB和AB的長度不為0的條件得出AB的取值範圍，再根據給出的二面角的餘弦值導出AB的長度。

如果求出的AB長度在該取值範圍之內，即B點存在；如果求出的AB長度不在該取值範圍內，即該B點不存在。

步驟

1.要想得到該二面角P-CD-E的餘弦值，則要找到面PAD到面ABCD的垂線。

因為∠A=90度，BC∥AD，所以BC⊥AB，BC⊥BP，所以BC⊥面APB，所以AD⊥面APB，所以AD⊥PA，又因為PA⊥AB，所以PA⊥面ABCD。

所以面PAD到面ABCD的垂線就是PA。

2.找到垂線後，還要過A點做兩個面交線的垂線。

過點A做DC的垂線交於線段DC或者是DC的延長線點H。

圖四

如圖四所示，但是無論H點是交於DC上還是DC的延長線上，AH的長度是不變的，因為三角形APD是等腰直角三角形，所以AH=3√2/2.

3.找到二面角P-CD-E所成的角，並計算出PA的值。

圖五

連接PH，則角PHA就是二面角P-CD-E所成的角。

所以cos∠PHA=AH/PH。

根據二面角P-CD-E的餘弦值等於√15/5，所以有3√2/2/PH=√15/5，所以PH=√30/2.

在直角三角形PAH中，根據勾股定理有PA=√3.

4.得出AB的範圍和AB的值。

設AB=a，則BP=3－a，因為PA⊥AB，所以BP>AB，所以有3－a>a，解得到a<3/2.

因為點B在線段AP上，且AB>0，所以有0<a<3。

所以a的取值範圍為0<a<3/2。

在直角三角形PAB中，根據勾股定理有(3－a)^2=a^2+3，解得到a=1。

所以AB在範圍(0,3/2)內，所以存在點B，當將△PBC沿BC折起到PA⊥AB時，二面角P-CD-E的餘弦值等於√15/5，且AB的長為1.

總結

這道題需要注意兩點：一是，當證明線面平行，在該面內不好找到與該直線平行的直線時，可以將線面平行的證明轉化成面面平行的證明；二是，對於是否存在的題型來說，都是假設其存在，再通過已知得出符合或者矛盾的條件，證明這一假設是存在還是不存在。

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