二面角

2021-03-01 長天秋水FS高中數學

二面角是立體幾何中重要內容之一，也是多年來高考考查的焦點問題，著重考查學生的邏輯思維能力，空間想像能力和運算求解能力，難度適中。

解決問題的方法：

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【典型例題1】

【試題分析】

立體幾何的高考解答題基本上第一問是位置關係的證明，第二問求角。第一問證明位置關係時，平行與垂直是我們關注的重點（線線平行、線面平行、面面平行；線線垂直、線面垂直、面面垂直），證明平行關係，重點在於線線平行（例如中位線、平行四邊形或者其他幾何體的性質、相似比、線面平行推出線線平行、面面平行推出線線平行等）以及線線垂直（例如勾股定理、等腰三角形底邊的中線垂直於底邊、直稜柱等幾何體的性質、線面垂直推出線線垂直、面面垂直推出線線垂直）

本題第一問中考查線面垂直，我們在平面內找到兩條相交直線與已知直線垂直就可以了。第二問中求二面角，因為兩個平面有交線，且比較容易可以作出二面角的平面角，所以可以考慮用方法一（幾何法）來求角，一般來說，這種方法比較難一點，對邏輯思維能力要求比較高，但是好處是運算量會比較少一點，會節省一些時間。所給的幾何載體中也比較方便建立空間直角坐標系，用方法三（向量法）也比較簡單直接，但是要注意計算準確。

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【典型例題2】

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【典型例題3】

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三種方法求線面角的優勢與局限性比較：

（1）法一（幾何法），主要考察邏輯思維能力和空間想像能力，我們學習立體幾何主要也是為了培養這兩方面的能力。在題目所給的幾何載體中，如果能夠比較容易找出二面角，我們用這種方法就比較快速可以解決問題，運算量也相對較小，如果不能，我們可以考慮其他的辦法。

（2）法二（射影面積法），這種辦法的好處就是不用作出二面角，運算量也相對較小，但是使用範圍比較窄，通常作出一個面內的某一個三角形在另外一個平面上的射影，通過三角形的射影面積和原面積之比來得到二面角平面角的餘弦值

（3）法三（向量法），這是近年高考最常用的考查方式，基本上近年的高考試題都可以用這種方法，優勢在於對空間想像能力和邏輯思維能力的要求較低，不需要在題目所給的幾何載體中作出二面角來，但是建立坐標系、運算通常會給我們帶來挑戰。

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試試下面幾道題吧：

【小試牛刀1】

【小試牛刀2】

【小試牛刀3】

【小試牛刀4】

相關焦點

  • 《二面角的概念》教案
    《二面角的概念》教案一、教學目標【知識與技能】能正確概述「二面角」、「二面角的平面角」的概念，會做二面角的平面角。【過程與方法】利用類比的方法推理二面角的有關概念，提升知識遷移的能力。二、教學重、難點【重點】「二面角」和「二面角的平面角」的概念。【難點】「二面角的平面角」概念的形成過程。
  • 二面角的常規求法
    應同事要求，整理一下二面角的常規求法。二面角是高考常考的一類問題，幾乎每年的理科卷都會涉及到二面角的求法。而有些同學在解決這塊內容是往往無從下手，今天把常見方法進行整理，希望可以給你們帶來幫助。一、定義法是指過二面角的稜上任一點在兩個面內分別作垂直於稜的直線，則兩直線所構成的角即為二面角的平面角，繼而在平面中求出其平面角的一種方法。
  • 《二面角的概念》說課稿
    三、說教學目標(一)知識與技能能正確概述「二面角」、「二面角的平面角」的概念，會做二面角的平面角。(二)過程與方法利用類比的方法推理二面角的有關概念，提升知識遷移的能力。並根據具體模型講解二面角的稜，面等相關概念。(1)對比平面角得出二面角的概念
  • 高中數學二面角求解,面面垂直的判定,常用二面角的三種找法
    平面內的一條直線把平面分成兩個部分，這兩部分通常稱為半平面，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，我們一般在求解二面角的大小時先要找出平面的二面角，然後求它們的度數第一問求A-PD-C的平面角度數，我們先要找出這兩個面的二面角，通過幾何可以直接證明面
  • 二面角與肽鏈的高級結構
    肽平面與二面角規定當旋轉鍵兩側的肽鏈形成順式結構時的角度為0度。二面角的取值範圍是正負180度（順時針旋轉為正），當二面角都是180度時肽鏈處於完全伸展狀態。由於空間位阻的存在，二面角實際的取值範圍是很有限的。正是這種有限的取值範圍，使蛋白質能夠形成某個穩定的構象。甘氨酸之所以成為α-螺旋構象的破壞者，就是因為其側鏈基團過小，使二面角的取值範圍過大，難以在需要的角度穩定下來。
  • 高中數學,二面角問題,向量求二面角的弊端,你還需知道這些
    這道題的第二問是求立體幾何中求二面角餘弦值的題，對於這樣的題，我們一般都是使用向量的方法去求解，因為向量方法方便簡單易於理解，但是我們在求二面角餘弦值的時候不僅要會用向量的方法求解二面角，還要會使用三垂線的方法來求解，因為不是所有的題都可以使用向量來求解，使用向量的方法來求解也存在一定的弊端，即弱化我們空間想像的能力。
  • 高中數學說課稿:《二面角》
    3、重點、難點：重點：「二面角」和「二面角的平面角」的概念難點：「二面角的平面角」概念的形成過程二、教法分析1、教學方法：在引入課題時，我採用多媒體、實物演示法，在新課探究中採用問題啟導、活動探究和類比發現法，在形成技能時以訓練法、探究研討法為主。
  • [試題剖析]二面角·典型例題分析
    PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角例2  在60°二面角M－，找到二面角的平面角．「無稜」須找二面角的稜．評註  在求無稜二面角的大小時有時須作出稜線後再找平面角．
  • 高中數學:無稜二面角的求解方法
    求二面角的基本方法是按二面角大小的定義，作出二面角的平面角，求出平面角的大小即可。但有些題目中沒有給出兩個面的交線，難以直接作出二面角的平面角。如圖1，正三稜柱的各稜長都是1，M是稜的中點，求截面與底面ABC所成銳角二面角的大小。
  • [知識點]求解無稜二面角大小的三個方法
    BC=，得cosθ==，sinθ==，從而tanθ==.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等於. 　　點評 利用面積射影法間接求二面角大小，可避免找二面角的稜及作二面角的平面角雙重麻煩，使求解過程更簡便.
  • 詳細講解用法向量求二面角的過程
    何時用法向量求二面角？在使用法向量求二面角時，一般是題中所求的兩個面的角不好找或者很難求解出該角的值。而法向量其實也是向量的一種，它無需準確地找到其起始點和終點就可以根據向量的乘積的形式計算出兩個向量的夾角。
  • 高考加油,每日一題,二面角有關的綜合題講解分析
    典型例題分析1：在四稜柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求證：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=√2，A1D=2，求二面角考點分析：二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．
  • 二面角的高考試題,可難可易,立體幾何最熱題型之一
    二面角是立體幾何中每年必考的重要內容之一，求解方法主要是作出二面角的平面角，通過解三角形而求角，然而，由於高考試題中二面角問題情景設計的多樣性，使得求解二面角成為難點。求二面角大小是歷年高考的熱點問題，每年各省、市的高考試題中幾乎都會出現此類題型。所謂二面角，是指由一條直線出發，兩個半平面組成的圖形，它是我們高中數學知識的重點。從現階段來看，很多同學尚未掌握到平面與平面的二面角正確求解方式。
  • 高中:立體幾何中求二面角餘弦值?來者不拒準確求解只需知道這些
    第二道題是求兩個面的二面角餘弦值，對於求二面角餘弦值，首先要找到該二面角，想要找到二面角，就要知道找一般二面角的步驟。第一問中求線面平行的步驟第一問是求證BE∥平面APQ。第二問中求二面角的一般步驟第二問求的是二面角P-AF-E的餘弦值。在求二面角的餘弦值之前要找到或者作出該二面角，這道題需要作出二面角。第一步，作出面AFE的垂線。
  • 衝刺2018年高考數學,典型例題分析90:與二面角相關的立體幾何題
    （1）求證：EH⊥平面ABCD；（2）在線段BC上是否存在一點P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小為π/3？若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．考點分析：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．
  • 高中數學,立體幾何大題第2講,平面與平面垂直和二面角
    高中數學，高考數學複習，立體幾何大題第2講，證明平面與平面垂直，求二面角的餘弦值。證明平面垂直，求二面角的餘弦值，這兩個問題都要用到垂直，所以咱們在讀題的過程中，要著重關注垂直問題。由④可以得到結論（四）：∠CEB是二面角C-A1B1-B的平面角；原因：E是中點，則A1B1垂直於BE，然後不論是根據線面垂直的性質還是根據三垂線定理都很容易得到「A1B1垂直於CE」，故∠CEB是二面角C-A1B1-B的平面角。題讀完了，同時分析出了4個小結論。接下來就可以根據題意以及這些小結論解答問題了。
  • 高中數學給出二面角的平面角的正切值的目的是什麼?細節決定成敗
    ⑴證明：BE⊥平面ADC；⑵若ED=1，二面角C-BE-D的平面角的正切值為√6，求直線BD與平面ADC所成角的正弦值。而第二小問是考察了對給出的二面角的平面角的理解，需要注意的是二面角不是平面角，二面角是由兩個平面組成，其角的範圍是0~180度，而平面角卻是由兩條射線組成，其範圍是0~360度，所以該二面角的平面角是以該二面角的公共直線上任意一點為端點，在兩個平面內分別作垂直於公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做二面角的平面角。
  • 使用法向量求二面角,需要知道這點,否則得到的結果不一定正確
    ⑴證明：平面PAF⊥平面ABCD；⑵當F為BC的中點時，求二面角A-NF-C的餘弦值。圖一對於立體幾何中求二面角，只有兩種方法：一是常規方法，即過其中的一個面上的點A作另一個面垂線，交於底面與B，在過該點B作兩個面交線的垂線交於垂線於C，連接AC，則∠ACB就是要找的二面角
  • 數學乾貨|空間向量與二面角所有知識點,一張表格搞定它!
    我們把垂直平行的向量證明求解分成了兩個部分，目的就是為了強調重要性，以及如何快速簡單的學習好，所以這篇內容就是對於二面角這個的重點強調。我們也說過，二面角就是考試的重點，也是我們對於向量法的一個最實際最得分的應用。
  • 給出二面角的餘弦值,問B點是否存在?這樣的題一般規律在這
    ⑵是否存在點B，當將△PBC沿BC折起到PA⊥AB時，二面角P-CD-E的餘弦值等於√15/5？若存在，求出AB的長；若不存在，請說明理由。第二問第二問就是「是否存在點B，當將△PBC沿BC折起到PA⊥AB時，二面角P-CD-E的餘弦值等於√15/5？若存在，求出AB的長；若不存在，請說明理由。」