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（以下內容全文轉自《教學月刊（小學版）》2020年第4期57-60頁「數說九章」專欄。參考文獻方式：章勤瓊, 郭盼.10%+10%為什麼等於0.11——談小學階段統百分數的意義和教學[J]. 教學月刊（小學版）, 2020, （5）: 57 - 60. )
10%+10%為什麼等於0.11
——談小學階段百分數的意義和教學
章勤瓊 郭盼
（溫州大學，浙江溫州，325035）
摘 要：用手機計算器計算10%+10%，可以得到不同的計算結果，這是因為百分數有不同的意義。百分數在理論上具有與分數相同的各種意義，但考慮實際應用應該突出其表示兩個量的比率關係的意義，這是百分數之所以產生的最大價值。在教學中，首先要加強對百分數意義的理解，特別是認識到分數和百分數的異同。其次，將百分數的相關內容作為拓展資源，發展學生多方面的數學能力。
關鍵詞： 百分數；百分率；意義；計算器
百分數的教學是小學數學教學中的一個重要內容，百分數在生活中的應用也十分廣泛。理解百分數的意義是學生學習百分數相關知識以及運用百分數解決有關實際問題的必備前提條件。[1]百分數參與運算的結果，存在不同意見。如10%+10%，大多數人認為可以轉化成小數0.1+0.1，結果為0.2；也有人認為，百分數表示的是兩個數的關係，不可以將其放在算式中進行運算，所以10%+10%沒法計算。除這兩種觀點之外，利用手機計算器計算「10%+10%」，會出現不同的計算結果0.11。那麼，10%+10%不同的計算結果指向在小學階段百分數的哪些意義，在教學中需要注意什麼，我們應該對相關概念進行梳理，進而對教學有進一步的思考。
一般情況下，在進行有關百分數內容的計算時，需要先將百分數轉化成分數或小數，再按照分數與小數的計算規則計算結果。如10%+10%=0.1+0.1=0.2，這樣的計算並不存在什麼難度，似乎也不應該有爭議。然而，在用手機上的計算器對10%+10%進行計算時，結果卻顯示10%+10%=0.11。這樣的結果顯然是令人驚訝的。對於這個結果，該如何解釋？
我們在計算時，按照小學數學四則運算的運算邏輯順序，將10%看成10/100，也就是0.1，再做加減，結果為0.2。計算器計算百分數的加法，之所以出現不同的結果，是因為百分號是個特殊的符號。百分數也叫百分率，這裡的百分率是以哪個數為基數，也就是我們通常說的單位「1」？即，加上10%需要考慮是加上哪個量的10%。計算出0.2的結果時，我們是將10%的單位「1」就當做數字1。然而，如果這裡對10%的基數作不同的思考，就能得到10%+10%=0.11。如果繼續加上10%，可以得到這樣的結果：10%+10%+10%=0.121，10%+10%+10%+10%=0.1331；10%+10%+10%+10%+10%=0.14641.。我們可以看出，後面所加的10%，都不是按照0.1的值來計算，每次加的10%的值分別是0.01，0.011，0.0121，0.01331，如果將增加的值與前面的和進行比較，可以得到表1。
表1 計算器計算10%相加的結果
和
與上一結果的差
10%
0.1
10%+10%
0.11
0.01
10%+10%+10%
0.121
0.011
10%+10%+10%+10%
0.1331
0.0121
10%+10%+10%+10%+10%
0.14641
0.01331
通過對上表的觀察，容易發現，每條算式與上一算式結果的差正好等於上一算式和的10%，即所加上的10%是以原來的加數作為基準量，即將原來的加數看做單位「1」，再加上這個數的10%。如10%+10%=10% ×（1+10%）=0.11，10%+10%+10%=（10%+10%）×（1+10%）=0.11×1.1=0.121……。如果計算減法，也會得到類似的結果，如10%-10%=0.09，這是10%×（1-10%）的結果。而10%-10%-10%=（10%-10%）×（1-10%）=0.081。事實上，加上或減去一個百分數的，可以這樣計算：a±b%=a·（1±b%），這裡的a是指±b%之前所有的數的和。事實上，想利用計算器計算兩個10%的數值的和，也是可以實現的。只需在10%外面分別加上括號就行，計算器計算（10%）+（10%）的結果即為0.2，括號裡面作為整體，自然不會以括號外面的結果作為基準進行百分率的計算。
因此，計算器的這種行為是對算法邏輯的不同選擇，而不是計算錯誤。那為什麼在計算器中一般要採用10%+10%=0.11這樣的算法呢？最早的電子計算器並沒有百分號「%」，後來加入之後，在一定程度上解決了計算場景中常用的難點。人們在日常生活中經常遇到計算小費、利息、折扣等場景，這樣的計算邏輯會變得非常實用，而且更貼近人們的日常語言。例如，早餐8元，需要額外支付小費10%，利用計算器只需要輸入「8+10%」，即可得到8.8元，而不需要輸入「8+8×10%」或者「8 x (1+10%)」，後面這兩種輸入，顯然要繁瑣得多，而且在解釋起來也要更加複雜。這樣的例子在生活中還有很多，如存入5000元，利息5%，到期所得只需輸入「5000+5%」，就可算出5250元。減法也是如此，如某件商品500元，打八折銷售，只需輸入「500-20%」，就能得到400元。而讓計算器計算500-20%=499.8這樣的算式，反倒沒有什麼實際意義。
如果用計算器來計算乘法和除法，跟我們習慣的運算結果沒有差別，如10%×10%=0.01,10%÷10%=1。這是因為在乘除計算中，不需要涉及加上或減去哪個量的10%的問題，在生活中也不需要處理這樣的場景。因此，如果了解百分數作為「百分率」的意義，並聯繫在生活中實際場景的實用價值，就能理解在計算器計算10%+10%為什麼等於0.11。
百分數的英語為percentage，詞根為「cent」，來自於拉丁語centum（一百），percentage的意思為「每一百中的部分」。西方在15世紀就已經開始使用百分數的形式「」，在17世紀中葉的一本著作中，已經出現了用「」的符號表示百分號，後來把前面的「per」也去掉了，而「%」這個符號的使用，則是現代的事了。[2]在數學辭海中，將「百分數」定義為一種特殊的分數，指分母是100的分數，或表示一個數是另一個數的百分之幾的數。[3]之所以說百分數是特殊的分數，是因為百分數是分母為100的繁分數。當N是一個數時，繁分數N/100通常讀作百分之N，也寫作N%。[4]這裡的N可以是整數，也可以是小數和分數。跟平常一般需要將分數化簡為分子分母為互質整數的最簡分數不同，在百分數中，需要保證分母為100，至於分子是什麼形式，並不重要。
認識分數是學習百分數的基礎，分數具有份數、商、測量、運算子、比這五種意義。[5]百分數可以有和分數一樣的意義。分數在表示「份數」時，其核心在於平均分以及部分與整體的關係，百分數顯然也有這樣的意義；當計算20÷100時，得數可以為0.2、2/10以及20%，可見百分數是可以表示「商」這一意義的，不過在實際計算中，一般習慣將計算結果中的百分數化成小數來表示；「測量」是在實物操作與語言描述之外的另一種意義，可以以分數單位作為度量單位，百分數顯然也可以以1%、0.1%或者更小的百分數作為度量單位；百分數的「運算子」在實際生活中非常普遍，在解決問題中，經常會遇到需要將一個量乘以合格率、利息、折扣等來計算另一個量的問題；在表示「比」時，強調的主要是兩個數量之間的比率關係，例如經常需要計算的投籃命中率、合格率等。
然而，對百分數的意義的關注，又與分數有較大的不同，需要突出其表示「關係」的意義，這是百分數這個內容的重要價值，也是百分數之所以產生的最大原因。早在1984年，就有研究者指出，在實際的生產、生活及實際研究中，百分數多是用來表示兩個數量之間的倍比關係，而不表示一個具體量，所以在教學時應該著重強調百分數表示「關係」這一意義。[6]在實際應用中，統一用100作為分母，並且記作%的好處是顯而易見的。比如，在一場籃球比賽中，某隊上下半場進球數和總投球數的比分別是11/21、17/29，若想知道哪個半場的命中率更高，如果直接比較這兩個分數的大小顯然不是特別方便。此時將分數化為百分數呈現，即52.4%和58.6%，結果一目了然。
在現行的小學數學教材中對百分數的定義如表2所示。
表2 教材中對於百分數的定義
人教版
像上面這樣的數，如14%，65.5%，120%...叫做百分數。百分數也叫做百分率或百分比。[7]
北師大版
像84%，28%，90%，117.5%...這樣的分叫做百分數，表示一個數是另一個數的百分之幾。百分數也叫百分比、百分率。[8]
蘇教版
像上面這樣表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫做百分數。百分數又叫做百分比或百分率。 [9]
在三個版本的教材中，都提到了「百分數也叫百分率或百分比」這樣的表述，著重強調了百分數表示兩個數的「比率關係」的意義。百分數在表示兩數關係時，主要有兩層含義。一是表示部分和整體的關係，這時百分數的範圍只能在100%以內，如手機電量20%，代表的意義是將剩餘電量和總電量相比較而得；二是表示兩個獨立數量的關係，這時百分數的值可以超過100%，如某工廠這個月的產量是上個月產量的120%。此外，百分數的分母雖為100，但不表示分母的數量剛好是100。如「一種商品的好評率是95.7%」，這裡的100與95.7顯然不是具體給出評價的人數，95.7%真正的含義是「每100個人裡有95.7個人給了好評」，其中的「每」字表示了這是一種給好評的人數與總人數的比率關係。
因此，百分數一般用來表示兩個量之間的比率關係，不能表示一個具體量，因此百分數後面不可以出現單位，不能以名數的形式出現。如一瓶1千克的牛奶，喝了80%，不能說喝了80%千克的牛奶，只能說喝了0.8千克或者80/100千克的牛奶，如果要用百分數來表示，需要說成『』喝了1千克的80%」。
由於百分數具有不同的意義，有時會產生一些歧義，例如「100增加50%是多少？」如果將50%看作單純的一個數，算式應為100+50%=100+0.5=100.5，但如果將50%理解為與100的關係，也就是增加的比率，那算式應為100+100×50%=150。因此，在遇到增加百分之幾的問題時，需要關注百分數所代表的意義，也要特別注意是增加了哪個量的百分之幾。
第一，在教學中，加強對百分數意義的理解，認識百分數和分數意義的異同。在表示「率」的意義時，百分數和分數在本質上是一樣的，都是表示兩個數的倍數關係。[10]但是，分數既可以表示分率，也可以表示具體的量，後面能帶單位；百分數雖然在理論上也具有跟分數同樣的意義，但百分數的產生是有其實際背景的，在意義上應該更加強調表示兩個量之間的關係，不用來表示一個具體量，後面不帶單位。此外，百分數可以和分數一樣在算式中進行計算，但在實際情境中，需依照具體情況來確定百分數所代表的真正含義，很多時候百分數代表的都是百分率的意義。但需要指出的是，對於百分數的意義，不宜通過規定的方式直接告知，建議在具體的情境中讓學生加強對百分數表示兩個數之間關係的特殊意義的理解，體會在實際應用中的價值。
第二，在教學中，可將百分數的相關內容作為拓展資源，發展學生多方面的數學能力。譬如，可以提供像10%=0.1，10%+10%=0.11，10%+10%+10%=0.121這樣的資源，讓孩子觀察特點與變化規律，在此基礎上探究10%+10%+10%+10%等於多少，並進一步思考這裡的「%」可能是怎樣的運算方式，可以幫助孩子更好理解百分數的不同意義，激發孩子的學習興趣，嘗試發現並定義新的運算方式，發展學生的符號意識和代數思維。此外，如果將表1中各算式的和的小數部分寫下來，可以得到圖1這樣的數字排列，每一行的數字，按照圖中箭頭方向加上10%就可以得到下一行的數。對圖1稍作調整就能得到楊輝三角（圖2），將楊輝三角的每一行與幾個10%相加進行對應的關聯，對學生更好地理解不同的運算方式，並為建立不同數學內容之間的聯結打下良好的基礎。在此基礎上，如果利用圖2讓學生繼續思考6個10%相加的結果。學生容易寫出楊輝三角的第6行應為1，5，10，10，5，1。但在寫出計算結果的時候會發現，在某些位置上已經出現了數字10，不可以作為某個數位上的數字。學生需要去思考在數字10的地方要寫0並進1，進行相應的調整之後可知，按照上面的運算方式，6個10%相加的結果為0.161051。這樣的思考對於位值制的更深理解以及數學的整體聯繫能力的提升是有益處的。
圖1 圖2
[參考文獻]
[1] 彭國慶,黎陽.蘇教版和人教版小學數學教科書中百分數意義的比較[J].現代中小學教育,2018,34(10):21-23.
[2] David Eugene SMITH. History of Mathematics(Volume Ⅱ)[M]. New York: Dover Publications, 1958: 250.
[3] 數學辭海第一卷編輯委員會.數學辭海（第一卷）[M].北京: 中國科學技術出版社, 2002: 34.
[4] [美]伍鴻熙著,趙潔,林開亮譯.數學家講解小學數學[M].北京: 北京大學出版社, 2016:279.
[5] 章勤瓊,徐文彬.論小學數學中分數的多層級理解及其教學[J].課程.教材.教法,2016,36(03):43-49.
[6] 王清宇.關於百分數意義的一點認識[J].小學教學研究,1984, (01):34.
[7] 人民教育出版社課程教材研究所小學數學課程研究開發中心.義務教育教科書：數學（六年級上冊）[M].北京: 人民教育出版社, 2012: 82.
[8] 北京師範大學出版社.義務教育教科書：數學（六年級上冊）[M].北京: 北京師範大學出版社, 2013:39.
[9] 江蘇教育出版社.義務教育教科書：數學（六年級上冊）[M].南京: 江蘇教育出版社, 2013: 85.
[10] 吳正憲,劉勁苓,劉克臣.小學數學教學基本概念解讀[M]. 北京; 教育科學出版社,2014: 175.
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