二次函數壓軸題——翻折與取值範圍
因為二次函數的綜合性特別強，所以二次函數壓軸題年年考，年年類型都不相同。二次函數的變化題型也非常豐富，既可以與幾何圖形結合，又可以與其他函數結合。
與幾何圖形的結合類型就非常多，比如二次函數與三角形、二次函數與四邊形、二次函數與圓等。而二次函數與幾何變化又有一系列的題型，比如二次函數與對稱（摺疊或翻折）、二次函數與旋轉、二次函數與平移等。還有二次函數與其他函數的結合，比如二次函數與取值範圍，二次函數與最大最小值等。
下面從兩個例題分析，二次函數的綜合性與解題技巧。
二次函數壓軸題與翻折
例題1、如圖①已知拋物線y＝ax^2﹣3ax﹣4a（a＜0）的圖象與x軸交於A、B兩點（A在B的左側），與y的正半軸交於點C，連結BC，二次函數的對稱軸與x軸的交點E．
（1）拋物線的對稱軸與x軸的交點E坐標為（， ），點A的坐標為（ ， ）；
（2）若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切，試求出拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，如圖②Q（m，0）是x的正半軸上一點，過點Q作y軸的平行線，與直線BC交於點M，與拋物線交於點N，連結CN，將△CMN沿CN翻折，M的對應點為M′．在圖②中探究：是否存在點Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，請求出Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據對稱軸公式可以求出點E坐標，設y＝0，解方程即可求出點A坐標．
（2）如圖①中，設⊙E與直線BC相切於點D，連接DE，則DE⊥BC，由tan∠OBC＝DE/BD＝OC/OB，列出方程即可解決．
（3）分兩種情形①當N在直線BC上方，②當N在直線BC下方，分別列出方程即可解決．
【點評】本題考查二次函數綜合題、圓、翻折變換、三角函數、一次函數等知識，解題的關鍵是通過三角函數建立方程，把問題轉化為方程解決，屬於中考壓軸題．
二次函數與取值範圍
例題2、在平面直角坐標系xOy中拋物線y＝﹣x^2+bx+c經過點A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線於點D，當△BCD的面積最大時，求點P的坐標；
（3）如圖2，拋物線頂點為E，EF⊥x軸於F點，N是線段EF上一動點，M（m，0）是x軸上一動點，若∠MNC＝90°，直接寫出實數m的取值範圍．
【分析】（1）由y＝﹣x^2+bx+c經過點A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），利用待定係數法即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先令﹣x^2+2x+3＝0，求得點B的坐標，然後設直線BC的解析式為y＝kx+b′，由待定係數法即可求得直線BC的解析式，再設P（a，3﹣a），即可得D（a，-a^2+2a+3），即可求得PD的長，由S△BDC＝S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC＝﹣1.5（a﹣1.5）2+3.625，利用二次函數的性質，即可求得當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；
（3）直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半列出關係式m＝（n﹣1.5）2﹣1.25，然後根據n的取值得到最小值．
【點評】此題考查了待定係數法求函數的解析式、相似三角形的判定與性質、二次函數的最值問題、判別式的應用以及等腰直角三角形的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．