歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，有關二次函數壓軸題的文章，是一系列講義，我們會把二次函數與幾何結合的各類題型變化與分析思路、解題方法、技巧，細細地梳理一遍，當你第一篇開始，堅持到最後一篇時，你一定會驚訝地發現，曾經困擾著你的二次函數中考壓軸題，它就在你的腳下!
今天我們繼續聊聊二次函數與特殊四邊形存在性問題之四：與正方形結合的存在性問題。
一.知識介紹：
由於正方形太特殊，其中相等的角、邊太多，所以解決有關正方形的題目，多採用幾何論證方法，最主要圍繞這個思路展開：添加輔助線，充分利用正方形的等邊或等角，構造全等三角形，依全等性質解題。
二.範例精講
例1.如圖1,在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:y=ax*2+bx+c與軸相交於A、B兩點,頂點為D(0,4),AB=4√2,設點F(m,0)是軸的正半軸上一點,將拋物線C繞點F旋轉180°,得到新的拋物線C`
(1)求拋物線C的函數表達式；
(2)若拋物線C`與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點,求m的取值範圍；
(3)如圖2,P是第一象限內拋物線C上一點,它到兩坐標軸的距離相等,點P在拋物線C`上的對應點P`,設M是C上的動點,N是C`上的動點,試探究四邊形PMP`N能否成為正方形?若能,求出m的值；若不能,請說明理由。
解析：
（1）∵AB=4√2
∴A（-2√2，0）、B（2√2，0），
把A、B、D三點坐標代入拋物線解析式中，
可得拋物線C的解析式為：
y=-0.5x*2+4.
（2）要想求關於m的取值範圍，必須先找出關於m的方程，且是一個一元二次方程，由題可知，這個方程與交點坐標有關，聯想到聯立方程求交點坐標，說明首先要把兩個二次函數解析式求出來或表示出來，問題的突破口找到了，可以著手解答了。
設拋物線C`的頂點坐標為E，
連接DE，作EH⊥x軸由題意可知，
點F在DE上，
且OF=FH=m，
OD=HE=4，
∴E(2m,-4),
∵拋物線C`是由拋物線C繞點F旋轉180而得，
∴拋物線C`的解析式為y=0.5(x-2m)*2-4,
解聯立方程：
y=-0.5x*2+4, y=0.5(x-2m)*2-4，
化簡可得：
x*2-2mx+2m*2-8=0,
∵拋物線C`與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點,
∴△>0,方程兩根之和會大於O，兩根之根也會大於0，
即(-2m)*2-4(2m*2-8)>0,
2m>0,
2m*2-8>0,
解得2<m<2√2.
（3）有關二次函數與特殊多邊形的分類討論題型，可用代數論證方法和幾何論證方法解答，一般要設一個未知數，但此題已有一個未知數m，再設一個未知數，用代數辦法對解方程會帶來很大麻煩，所以首選幾何論證辦法。，所以必先畫出草圖，利用正方形性質，結合全等、相似或勾股定理來求解。
設點P的坐標為（n，-0.5n*2+4）,
∵P到兩坐標軸的距離相等,且在第一象限內，
∴n=-0.5x*2+4，
解得n=2,
∴P(2,2).
F點是P、P`的中點，
依中點坐標公式可得，
點P`的坐標為（2m-2，-2），
①當點P在點F的右側時，如圖4，
作PQ⊥x軸，MG⊥x軸，
PQ=2,QF=m-2,
∵四邊形PMP`N是正方形，
易證△PQF≌△MGF，
則GF=PQ=2，GM=FQ=m-2，
∴OG=m-2,
∴M(m-2,2-m),
∵點M在拋物線C的圖像上，
∴-0.5(m-2)*2+4=2-m ,
解得：
m=-3+√17,m=-3-√17（捨去）；
②當點P在點F的右側時，如圖5，
作PQ⊥x軸，MG⊥x軸，
PQ=2,QF=2-m,
∵四邊形PMP`N是正方形，
易證△PQF≌△MGF，
則GF=PQ=2，GM=FQ=2-m，
∴OG=m+2,
∴M(m+2,m-2),
∵點M在拋物線C的圖像上，
∴-0.5(m-2)*2+4=m-2 ,
解得：m=6,m=0（捨去）；
綜上所述，當m=-3+√17或6時，四邊形PMP`N為正方形.
例2．如圖，拋物線y=-0.5x*2+bx+c與x軸交於點A、B，與y軸交於點C，點B（6，0），點C(0,6),點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線於點E，連接BD.
（1）求拋物線的解析式及D點坐標；
（2）若點P是x軸上方拋物線上的動點，點F是平面坐標系中的動點，以PB為邊作正方形PBFG，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨著變化，當頂點F或G恰好落在y軸上時，請直接寫出點P的橫坐標.
解析：
（1）代入B、C兩點坐標，即可得拋物線解析式為：
y=-0.5x*2+2x+6,
進而可以得出頂點D的坐標為（2，8）；
（2）設P點坐標為（a,-0.5a*2+2a+6）,
①當G在y軸上時，如圖2，
過點P分別作x、y軸的垂線PM、PQ，
由正方形的性質易證△PQG≌△PMB，
∴PQ=PM，
即a=-0.5a*2+2a+6,
解得a=1+√13，a=1-√13(捨去)，
∴P點的橫坐標為1+√13.
②當F在y軸上時，如圖3，
過點P分別作x軸的垂線PM，
由正方形的性質易證△BOF≌△PMB，
∴OB=PM=6，
即-0.5a*2+2a+6=6,
解得a=4，a=0(捨去)，
∴P點的橫坐標為4.
③當F在y軸上、G在x軸上，P與C重合時，
四邊形PBFG也為正方形，
此時P點的橫坐標為0.
綜上所述，當PBFG為正方形時，P的橫坐標為1+√13、4或0.
三.思路回顧
至此為止，二次函數與特殊多邊形的存在性問題所涉及的題型、解題思路與方法，我們一一介紹完畢，從各個實例詳解中，我們不難發現，它們在解題思路與方法有很多相似之處，「抓住共處、注意細處」便能從整體上把握二次函數存在性問題中最常見的一類題型的解法。題不在多而在於精，希望從這些例題中，我們能有所啟發、有所收穫，讓這類二次函數的壓軸題，解決起來不再是一件很遙遠的事情。
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