存在最大的素數麼?歐幾裡得告訴你答案

2021-02-15 VOA數學


素數

多疑又孤獨的數字


保羅·喬爾達諾曾在《質數的孤獨》裡這樣描述質數：

質數只能被一和它自身整除。在自然數的無窮序列中，它們處於自己的位置上，和其他所有數字一樣，被前後兩個數字擠著，但它們彼此間的距離卻比其他數字更遠一步。它們是多疑而又孤獨的數字，正是由於這一點，馬蒂亞覺得它們非常奇妙 在大學一年級的一門課上，馬蒂亞知道，在質數當中還有一些更加特別的成員，數學家稱之為「孿生質數」，它們是離得很近的一對質數，幾乎是彼此相鄰。


質數一直受數學家的關注與探索。在2000多年前，人們就在思考到底有沒有最大的素數？素數有多少個？


今天小編和大家分享一下幾何學之父歐幾裡得是如何證明素數有無限個的。為了幫助同學們更好的理解，我先和大家簡單的談談什麼是素數？如何判定素數？數學家目前找到最大的素數是多少？


一、什麼是素數


質數又稱素數。一個大於1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做質數；否則稱為合數。我們VOA數學團隊的頭像就是由1000以內的質數組成的，寓意數學就像指路明燈一樣照亮我們前行的路！



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二、素數尋找算法


燈泡是由1000以內的素數構成！1000以內素數共有168個，它們分別是：

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997

那麼如何尋找素數呢？

在公元前2世紀希臘數學家埃拉託斯特尼（Eratosthenes），就已經提出了一個非常簡單而且有效的素數篩法，我們稱之為埃拉託斯特尼篩法（Sieve of Eratosthenes）。核心是：要得到自然數n以內的全部素數，必須把不大於根號n的所有素數的倍數剔除，剩下的就是素數。

一個埃拉託斯特尼篩法的例子

三、梅森素數


素數當中，有一類素數非常特別，形如2p-1，17世紀法國數學家馬林·梅森對它進行了深入研究。為了紀念梅森的貢獻，學界把這種數稱之為梅森數，如果梅森數為素數，則稱之為梅森素數。


2017年12月26日，數學界發生一件大事，美國一位普通的電氣工程師Jonathan Pace，在他成為GIMPS計劃志願者的第14個年頭，找到第50個梅森素數，即277232917-1，這是目前為止人類發現的最大素數，共計23249425位。

2017年1月13日由日本虹色社發行的這本《2017年最大的素數》（『2017年最大の素數』），厚約32mm，共719頁，整本書只印了一個數，即2^77,232,917-1。這本奇特的書在發行兩周後迅速攀上日本亞馬遜數學類「暢銷書第1位」。



四、素數有無限個的證明


素數是無限的還是有限的？兩千年前的古希臘數學家歐幾裡得證明了這個問題，被認為是經典之作。以後又出現十幾種證明方法。例如歐拉的證明。他是如何證明的呢？


證明:假設素數沒有無限個.設它們為P1.P2.P3.P4.……Pn.設素數集合為S，

不妨再設實數a=P1*P2*P3*P4*……*Pn+1，則a不屬於S，因此a為合數，且a不能被任何素數整除。又由於合數a必然能分解出質因子，設其為p，則p必然為素數，且p能整除a。這與a不能被任何素數整除矛盾。所以假設不成立，素數有無限個。

五、相關猜想

哥德巴赫猜想：是否每個大於2的偶數都可寫成兩個素數之和？

孿生素數猜想：孿生素數就是差為2的素數對，例如11和13。是否存在無窮多的孿生素數？

黎曼猜想：關於黎曼ζ函數ζ(s)的零點分布的猜想，由數學家波恩哈德·黎曼（1826～1866）於1859年提出。德國數學家希爾伯特列出23個數學問題。其中第8問題中便有黎曼假設。素數在自然數中的分布並沒有簡單的規律。黎曼發現素數出現的頻率與黎曼ζ函數緊密相關。黎曼猜想提出：黎曼ζ函數ζ(s)非平凡零點（在此情況下是指s不為-2、-4、-6等點的值）的實數部份是1/2。即所有非平凡零點都應該位於直線1/2 + ti（「臨界線」（critical line））上。t為一實數，而i為虛數的基本單位。

歡迎有興趣的同學進行更進一步思考與探索！

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相關焦點

  • 孿生素數猜想——是否存在無窮多個素數p使得p + 2是素數?
    起源雖然歐幾裡得公元前300年證明有無窮多個素數，是否有無限多的孿生素數直到1849年才被證明，法國數學家波林那克(1826 - 1863)猜想每一個自然數k，存在無窮多的素數p，使得p + 2k也是素數。孿生素數猜想是k=1的特殊情況。
  • 迄今為止已知最大的素數寫下來居然印成了一本暢銷書,稀奇得很!
    素數又稱「質數」，它們除了1和自己以外，沒有任何因子。中國人最熟悉的關於素數的故事，莫過於「哥德巴赫猜想」，即「每一個大於2的自然偶數都可以寫成兩個素數之和」。素數世界素數是無窮多的。在2300多年前，古希臘數學家歐幾裡得就發現了這一點，並在《幾何原本》中做了簡潔漂亮的證明。歐幾裡得說：「有無窮多的素數。」但他並沒有說，這無窮多的素數具體是什麼。這是一個數學領域中常見的情況：你可以證明一件事的存在，但你無法具體描述這件事。歐幾裡得這就是素數的秘密：它雖然無窮多，但要發現和驗證大素數卻不容易。
  • 歐幾裡得
    編寫巨著最早的幾何學興起於公元前7世紀的古埃及，後經古希臘等人傳到古希臘的都城，又借畢達哥拉斯學派系統奠基。在歐幾裡得以前，人們已經積累了許多幾何學的知識，然而這些知識當中，存在一個很大的缺點和不足，就是缺乏系統性。
  • 數學巨人——歐幾裡得,是如何影響世界幾千年的?
    歐幾裡得的大多數思想都是作為啟示而來，為歐幾裡得幾何學奠定了基礎。這些思想成為兩千年來幾何教學和理解的核心。在很長一段時間裡，如果你沒有讀過元素，你就不會被視為受過教育。即使在今天，當你閱讀《幾何原本》的時候，它也包含了現代理論，即使在今天仍然適用，這使得它與眾不同。
  • 史上最荒唐的書《2017年最大素數》事什麼書價格多少哪裡能買
    所謂「史上最大素數」的秘密　　日媒報導，標題為《荒唐……竟然把「史上最大的素數」印成一本書》　　素數又稱「質數」，它們除了1和自己以外，沒有任何因子。中國人最熟悉的關於素數的故事，莫過於「哥德巴赫猜想」，即「每一個大於2的自然偶數都可以寫成兩個素數之和」。　　素數是無窮多的。
  • 偉大的數學家歐幾裡得
    在歐幾裡得以前，人們已經積累了許多幾何學的知識，然而這些知識當中，存在一個很大的缺點和不足，就是缺乏系統性。大多數是片斷、零碎的知識，公理與公理之間、證明與證明之間並沒有什麼很強的聯繫性，更不要說對公式和定理進行嚴格的邏輯論證和說明。
  • 迄今最大的素數,長達2233萬位!
  • 張益唐與孿生素數
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  • 最大的素數被發現了,長達2233萬位!
    第49個梅森素數的「冰山一角」世界上迄今為止最大的素數被發現了！長達2233萬位，如果用普通字號將它列印出來長度將超過65公裡。素數是什麼？先來複習下初中數學知識：素數又稱質數，只能被1和它本身除，而數值越大成為素數的概率就越低。
  • 網格技術助力搜尋最大素數——梅森素數
    2008年8月，美國加州大學洛杉磯分校(UCLA)的計算機專家史密斯（E.Smith）通過參加了一個名為「網際網路梅森素數大搜索」(GIMPS)的國際合作項目，發現了第46個也是最大的梅森素數243112609-1，該素數也就是2自身相乘43112609次減1，它有12978189位數，如果用普通字號將這個巨數連續寫下來，它的長度可超過
  • 為什麼素數有無窮多個？
    人類在很早的時候就開始研究素數了，神秘的素數令無數數學家為之魂牽夢繞。在數學中就有一門分支學科專門研究素數（整數）及其性質，稱為數論，你一定聽聞過我國數學家陳景潤攻克哥德巴赫猜想的故事吧，講的就是這個。
  • 迄今最大的素數被發現了,長達2233萬位
    澎湃新聞記者 徐明徽第49個梅森素數的「冰山一角」世界上迄今為止最大的素數被發現了
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    高斯大神幾乎所有的數學家多多少少都研究過素數，從遙遠的歐幾裡得，阿基米德，再到中世紀的斐波那契，然後再到文藝復興時代的數學大師們。當然，高斯這位大神也對素數極度痴迷，從他十幾歲開始就研究，並且得出了重大的成果。然而，素數這個問題卻不是你研究時間長，研究人員多，就一定可以出成績的，這個跟現在的科研有著顯著不同。數學的發展史就是一部氣勢磅礴的素數研究史，但是深究下去，你更加會發現，很多素數的簡單到孩童都理解的問題都一直沒有突破。
  • 素數無窮多的9種證明思路簡介
    引言素數 (prime number) 是除去 1 和本身之外不存在其他因子的大於 1 的正整數。單純從這個定義看，素數沒什麼先驗的理由必須有無窮多個，然而對數學家來說，很幸運的是：素數有無窮多個。比如德國數學家庫默爾 (Ernst Kummer) 於 1878 年，荷蘭數學家斯蒂爾傑斯 (Thomas Stieltjes) 於 1890 年，分別給出了這樣的變種：假設只存在有限多個素數 p1, ..., pn，令 N = p1···pn，則所有 pi (i = 1, ..., n) 都是 N 的素因子。
  • 一個奇怪的素數序列
    一個好奇的人類可以詢問關於素數的第一個問題是有多少，並且最早的證據之一是有無數多個素數是歐幾裡德元素的可愛論證。歐幾裡得的證明以有限的素數列表開始，並描述了一種生成不在列表中的素數的方法。如果你的質數是p 1，p 2，p 3，……，p n，取所有這些的乘積：p 1 ×p 2 ×p 3 ×……×p n並加1.這個數，p 1 ×p 2 ×p 3 ×……×p n +1，不能被我們列表中的任何素數整除； 當我們用其中一個素數除以它時的餘數是1.因此，素數的有限列表是不完整的。
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    在剩餘的數字中，2 後面出現的是3。沒有排除3 說明3 不是2 的倍數，所以3 的因數只有1 和3。從而可以推出，3 是素數。那麼接下來把3 圈起來，再排除3 的倍數。在剩餘的數字中，3 後面出現的是5，所以5 也是素數。然後把5 圈起來，再排除5 的倍數。反覆進行以上操作，得出了以下結果。最後我們發現剩下的2、3、5、· · · 都是素數。這種篩選素數的方法叫作「埃拉託斯特尼篩法」。
  • 神奇的梅森素數
    前不久，美國電氣工程師及數學愛好者喬納森·佩克通過一個名為「網際網路梅森素數大搜索（GIMPS）」的國際合作項目，發現了人類已知的最大素數2＂77232917－1。這是第50個被發現的梅森素數，共有23249425位數。假設我們每秒鐘寫一個數字的話，要連續寫近200個晝夜才能寫完。
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    在我讀完《第一迷戀》這本書之後，我就對7這數字產生了興趣，它是素數（質數）。我之所以強調質數，是因為指數是數學的核心。但是質數實際上不僅僅是數學家的興趣。自歐幾裡得以來，質數一直是數學家和藝術家們著迷的對象。因為當你在淘寶上買東西時，質數可以保護你免受黑客的侵害。有些動物和水果也喜歡質數。
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    第49個梅森素數的「冰山一角」世界上迄今為止最大的素數被發現了！長達2233萬位，如果用普通字號將它列印出來長度將超過65公裡。素數是什麼？先來複習下初中數學知識：素數又稱質數，只能被1和它本身整除，而數值越大成為素數的概率就越低。
  • 美妙絕倫的素數
    1）素數無限定理用反證法容易證明，素數有無窮多個。關於這一點，歐幾裡得的《幾何原本》中已有記載。 2）貝特朗定理對任一實數x≥1，在x及2x之間必有一素數。這一假設是由貝特朗提出的，並於1848年被切比雪夫所證明。