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三角函數的相關知識們在中小學的時候就接觸了。實際上，在高中我們對三角函數的初等性質研究得非常深入，有人也許會產生一種感覺，關於三角函數的一切問題都是中學習題級別的難度。
實際上，有很多看上去非常簡單和初等的關於三角函數的問題會非常難，甚至至今還屬於全人類都沒解決那種問題。比如今天介紹的一個關於正切函數tan問題。
提問：是不是有無限多個自然數n滿足不等式tan(n) > n
實際上，如果你經常做關於自然數和三角函數結合的問題，你會感覺到，很多時候不是再研究問題本身，而是在研究圓周率π的性質。這個問題也不會例外，對這個不等式的研究說不定能讓我們對這個神奇的無理數有更深刻的理解呢？
如果我們編程算一下，發現滿足tan(n) > n的自然數似乎非常非常的稀少。我們哆嗒數學網的小編用Python簡單暴力循環計算了一下，在100億以內滿足這個不等式只有6個數，它們是：1 , 260515 , 37362253 , 122925461 , 534483448 , 3083975227 ，這些數看上去間隔越來越大。
import math
for n in range(1,10000000000):
if(math.tan(n)>n):
print(n," ",math.tan(n))
實際上，著名數列搜集網站OEIS上列出了滿足這個不等式的16個數（數列編號A249836），它們是：
1
260515
37362253
122925461
534483448
3083975227
902209779836
74357078147863
214112296674652
642336890023956
18190586279576483
248319196091979065
1108341089274117551
118554299812338354516058
1428599129020608582548671
4285797387061825747646013
關於這個不等式的研究，我們能找到的最新的成果是2014年Bellamy，Lagarias，Lazebnik三人合寫的4頁紙的文章 ( 見http://www.math.udel.edu/~lazebnik/papers/tan_n.pdf)。在文章裡，它們證明了滿足不等式|tan(n)| > n 以及 tan(n) > n/4的自然數有無窮多個。這篇文章不難，用到的定理也不算太深，相當數量的大二以上的本科生應該能理解文章的方法。實際上這些人在1999年在《美國數學月刊》上也發表過關於這個問題的部分結果。這個雜誌對發表內容的層次要求不高，是願意發表一些相對簡單的數學成果的。
現在的情況是，要解決這個問題，似乎要去找到一個n/π的小數部分和1/2的某種「性質良好」的逼近，比如60515/π = 82924.49999917..., 37362253/π= 11892774.4999999915 等等。另外，從大部分人對π的小數展開某種「隨機性」直覺來猜想，不僅問題本身滿足tan(n) > n 的自然數n應該有無窮多個，甚至對任意自然數k，滿足足tan(n) > kn的自然數n也應該有無窮多個。
這樣的問題不是太深刻，比較簡單（至少目前涉及的深度來看），而且普通人只要學過高中都看的懂。真的非常適合普通的數學愛好者來做一做，如果有什麼進展，那可是全人類第一次完成的「創舉」（哈哈……哈），到時候可是你得瑟的機會。
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