中考數學壓軸題分析:弦切角與相似

2021-03-01 中考數學壓軸題

弦切角定理刪除已久，但是偶爾還是會出現相關問題的題目。

本文選自2020年呼倫貝爾中考數學倒數第3題，難度較小，不過題目比較經典，值得研究。

【中考真題】

（2020•呼倫貝爾）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直線EG與⊙O相切於點E，EG∥BC，連接AE交BC於點D．
（1）求證：AE平分∠BAC；
（2）若∠ABC的平分線BF交AD於點F，且DE＝3，DF＝2，求AF的長．

【分析】

題（1）證明AE平分∠BAC，其實就是要證明弦切角∠BEH＝∠BAE即可。（H為GE延長線上的點）。連接OE，利用切線的性質易得結論。

題（2）要求AF的長度，容易聯想到相似。圖中可以發現一個反A的相似，也就是△EBD∽△EAB。再根據已知的角平分線的性質，可以證明BE＝EF，進而得到BE的長，再利用△EBD∽△EAB得

【答案】解：（1）連接OE．
∵直線EG與⊙O相切於E，
∴OE⊥EG，
∵EG∥BC，
∴OE⊥BC，
∴
∴∠BAE＝∠CAE．
∴AE平分∠BAC；

（2）如圖，∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠4，
∵∠1＝∠5，
∴∠4＝∠5，
∵BF平分∠ABC，
∴∠2＝∠3，
∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5，即∠6＝∠EBF，
∴EB＝EF，
∵DE＝3，DF＝2，
∴BE＝EF＝DE+DF＝5，
∵∠5＝∠4，∠BED＝∠AEB，
∴△EBD∽△EAB，
∴
∴AE
∴AF＝AE﹣EF

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