小學數學平面圖形題解析——千變萬化的圓

2020-12-14 草根話教育

圓形是小學數學平面圖形中的一種基礎圖形，其中主要的知識點是關於圓的周長和面積的兩個公式。實際上說，這部分知識難度不太大，但唯一讓小學生難以招架的是圓的組合圖形中那些千變萬化的怪異模型，讓人頗費思量難以捉摸。

今天，筆者有興趣選擇並解析幾道重點小學的考試題，希望能為小學生的數學學習錦上添花。

【題1】

【分析】觀察圖形，發現正方形ABCD的面積可以由兩部分組成:即1/4圓的面積和1/4圓以外部分的面積。還發現以6釐米為半徑的弧AC和弧BD相交後，所形成的兩處空白的面積相等。於是，等量關係立現。

【規範解答】

解:設1/4圓的面積為a，正方形內1/4圓以外部分的面積為b。

a=6×6π÷4=9π，b=6×6-9π=36-9π

S陰影差=(a－S空白)－(b－S空白)=a－b=9π－(36－9π)=18π－36

=18×3.14-36=20.52平方釐米

答:這兩個陰影部分的面積之差是20.52平方釐米。

【題2】

【分析】在小學數學圓的部分，求組合圖形中某一部分的面積時，常常用到「割補法」。即將其中的一部分割開後補在另一部分上，從而形成能快速計算出面積的規則圖形。上面這道題就採用這一方法，具體分割方法如下圖:

從圖示中可以看到:過圓弧的4個交點做正方形分割，正方形外面的8個空白部分的面積和與正方形內部的4個陰影部分的面積和相等。由此，可以將這4個陰影部分補在8個空白處，等量關係出現。另外，在計算正方形面積時，還可以把正方形分割為兩個完全相同的三角形，這樣計算起來簡單方便。

【規範解答】

解:S陰影=S圓－S正方形

S圓=18×18×3.14=1017.36平方釐米

三角形底邊長=18×2=36釐米

三角形高=9×2=18釐米

S正方形=36×18÷2×2=648平方釐米

S陰影=1017.36-648=369.36平方釐米

答:圖形中陰影部分的面積是369.36平方釐米。

【題3】

【分析】這道題依然採用神器割補法。具體分割方法如下圖:

分割後將陰影A補在A'處，陰影B補在B'處。

【規範解答】

解:S陰影=S1/4圓－S直角三角形

S1/4圓=8×8×3.14÷4=50.24平方釐米

S直角三角形=8×8÷2=32平方釐米

S陰影=50.24-32=18.24平方釐米

答:陰影的面積是18.24平方釐米。

【題4】(結果保留整數)

【分析】同樣是採用萬能的割補法解題，具體分割線的畫法如下圖:

圖示中發現:割補後陰影部分的面積也就等於1/4大圓的面積減去小半圓的面積，再加上等腰直角三角形面積的一半。

【規範解答】

解:S1/4大圓=5×5π÷4=6.25π平方釐米

S小半圓=2.5×2.5π÷2=3.125π平方釐米

S1/2直角三角形=5×5÷2÷2=6.25平方釐米

S陰影=6.25π－3.125π+6.25≈16平方釐米

答:陰影部分面積是16平方釐米。

【題5】(保留π)

【分析】由題意可知，陰影部分的面積分為三個部分:①1/4圓中等腰直角三角形CDE以外的部分；②正方形ABCD中1/4圓以外的部分；③等腰直角三角形ABF中以F點為圓心，以4釐米為半徑，圓心角為45度的扇形以外的部分。

【規範解答】

解:S1=S1/4圓－S三角形CDE

=4×4π÷4－4×4÷2=4π－8平方釐米

S2=S正方形－S1/4圓

=4×4-4×4π÷4=16－4π平方釐米

S3=S三角形ABF－S1/8圓=4×4÷2－4×4π÷8=8－2π平方釐米

S陰影=S1+S2+S3

=4π－8+16－4π+8－2π=16－2π平方釐米

答:圖中陰影部分的面積是16－2π平方釐米。

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