作者：王金中
中國古代把數學叫做算經，也叫算術或算法。漢代已經出現了世界上最早的一批數學專著——《周髀（bì,音壁）算經》、《九章算術》、《律歷算法》等，形成了中國古典數學體系。古代的數學有很強的實用性，天文、地理、水利、農田、稅賦、貨幣、度量、建築、製造、醫藥等，都包含著或簡單或複雜的數學問題。海昏侯墓出土的許多器物就充滿了古老的數學之謎，只不過有的是謎面，有的是謎底，更多的是籠罩在器物上的迷霧，需要人們認真地去探究，破解一個個啞謎，剝開一層層迷霧，從而展示出我們的祖先在數學方面所取得的令人驕傲的輝煌成就。
一、《易經》中的數學之源
在海昏侯墓的文書檔案庫中，發現了《易經》類的竹簡文字，通過紅外掃描，目前解讀出其中一枚的內容為：「≡≡屯建建者建也。彖（tuàn）北方一餃北方一辛壬癸丑，上經一，中冬□龍吉夏兇（圖1）。」這是《易經》中的卦一「乾」。看來，漢代把「乾」也稱為「建」，其排序與傳世《易經》相同，但內容卻存在著較大的差別。
圖1
在漢代，「罷黜百家，獨尊儒術」的漢武帝，把《易經》、《尚書》、《詩經》、《禮記》、《春秋》這五經，作為儒學必修的經典，還設立了五經博士的學位。《易經》又稱《周易》，素有「群經之
首」和「大道之源」的稱譽，堪稱是中華文化的「源頭活水」，它對中國文明的形成與發展起到了非常重要的奠基作用，其中就蘊含著豐富的數學思想和數學方法。
首先，《易經》記錄了中國最早的數字概念。「乾一、兌二、離三、震四、巽（xùn）五、坎六、艮七、坤八」；「太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦生六十四卦」；「三才、五行、八卦、九宮」；「十天幹、十二地支、六十甲子」等等，這些《易經》中的術語，表明了中國人在伏羲、神農和黃帝的時代，就有了較為完整的自然數概念，並且將這些變幻萬端的數字概念運用到實際生活中。
其次，《易經》把自然數分為奇數和偶數，深化了古人對數字的認識。在《易經》中，天為奇數，地為偶數。「天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。天數五，地數五，五位相得而各有合。天數二十五（即1﹢3﹢5﹢7﹢9﹦25），地數三十（即2﹢4﹢6﹢8﹢10﹦30），凡天地之數五十有五。此所以成變化而行鬼神也。」
再次，《易經》根據社會生活的需要，確立了計數中的二進位、五進位、十進位、十二進位、二十四進位、六十進位等多種方法。這些不規則的進位制，反映了社會生活的多樣化。二進位適應了用最簡單的兩個數碼代表八卦的生成；五進位反映的是金、木、水、火、土五行構成世間萬物變化循環不已的概念；十進位的產生為快速進行籌算創造了先決條件；十二進位與二十四進位最初都是以一年分為十二個月、同時又分為二十四節氣密切相關；而六十進位則與「十天幹」「十二地支」輪迴相配為一甲子對應。這其中「八卦生成和二杈樹」中所表達的二進位原理（圖2），深刻啟發了十七世紀德國大數學家、微積分和數理邏輯的創始人萊布尼茨，發明創造了現代電子計算機的運算基礎。
圖2
第四，《易經》中包含著四則運算以及乘方、開方的運算方法。由於《易經》最早起源於上古時代的天文學，那時人們的宇宙觀是天圓地方，傳說上萬年前的伏羲和女媧，手裡就拿著圓規和矩尺。伏羲的先天八卦就是用數字表現一年四季的時間坐標與陰陽二氣的變化。因此，《易經》中充滿了數學的運算，加、減、乘、除無所不有，乘方、開方頻繁運用，只不過沒有留下如同今天數學中的運算公式和運算過程。
海昏侯劉賀把《易經》終生帶在身邊，一定會喜愛這部經典，熟讀這部經典，對其中的數字和運算瞭然於心，並運用到他一生中為王、為帝、為民、為侯以及經商的現實生活中去。
二、算板中的數學之理
在海昏侯墓中出土了一件史書中記載的「遊珠算板」抑或「兩儀算板」，拙文《遊珠算板：海昏侯墓驚現古代算盤的雛形》中已作詳細介紹。需要強調的是，這件古老的石質算板明白無誤地透露出中國古典數學的另一項成就——十進位與位值制的確立。
十進位是指，每滿十數向上進一個單位，如十個一進為十，十個十進為百，十個百進為千，如此類推。位值制是指，上一個算位的數值是下一個算位的十倍，如「2」放在個位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000，如此類推。兩者結合起來，就叫十進位值制，簡稱十進位制。海昏侯墓出土的遊珠算板上面的縱線和橫線，分別代表著十進位與位值制（圖3）。其中橫線代表十進位，五道線中，上一線
圖3
放置的算珠代表5，下四線放置的算珠各代表1，合計代表4。也就是說，五道橫線放滿算珠最多代表9，再加1就是10，必須進到上一位。縱線代表位值制，從右到左依次為個、十、百、千、萬等算位（圖4）。運用縱橫交錯的直線，把各種數字以坐標的形式科學地表示出來，在此基礎上進行各種複雜的運算，是中國古代的一項偉大發明！
圖4
海昏侯墓出土的這件遊珠算板，可以說代表了當時中國的古典數學在世界上的領先地位。與世界其他古老民族的記數法作一比較，其優越性是顯而易見的。古羅馬的數字系統沒有位值制，只有七個基本符號，如要記稍大一點的數目就相當繁難。古美洲瑪雅人雖然懂得位值制，但用的是20進位；古巴比倫人也知道位值制，但用的是60進位。而20進位至少需要19個數碼，60進位則需要59個數碼，這就使記數和運算變得十分繁複。古埃及的數字從一到十隻有兩個數字符號，從一百到一千萬有四個數字符號，而且是象形的，例如用一個鳥表示十萬。文化比較發達的古希臘，由於看重幾何，輕視計算，記數方法十分落後，用全部希臘字母表示一到一萬的數字，字母不夠的時候就在字母旁邊增加符號「』」，如α表示一千，β表示二千等。現在世界通用的阿拉伯數字和記數法是印度古代人民創造的，但是印度在公元三世紀以前使用的記數法是希臘式和羅馬式兩種，都不是位值制，他們真正使用十進位制記數法出現在公元六世紀末。由此可見，我國古代的十進位制記數法，在世界數學史上佔有重要的地位。
中國古典數學之所以在計算方面取得許多卓越的成就，一定程度上應該歸功於遊珠算板上所表現出來的十進位制的記數法。馬克思在他的《數學手稿》一書中稱十進位記數法為「最妙的發明之一」，這是恰如其分的評價。
三、銅錢中的數學之問
在海昏侯墓的西北角，有一個最小的槨室——北藏閣錢庫，這裡發掘出堆積如山的大量銅錢「漢五銖」。一位考古人員數了幾個月，才清理出「冰山」一角。經過初步估算，這堆銅錢大約有200餘萬枚之多，重量達到10噸左右（圖5）。
圖5
200餘萬枚銅錢，在漢代絕對是一個十分龐大的數字。從數學的角度來提問，古代中國是如何記錄萬以上的大數字呢？古人又是如何數出這200餘萬枚銅錢的呢？當初下葬的時候又是如何堆放在錢庫中的呢？
首先，這樣龐大的數字是如何記錄的呢？按照公元190年前後的《數術記遺》中介紹，古代中國記錄大數字的方法有三套。
第一套與現在的記數方法相同，即萬之後是十萬、百萬、千萬、億，十億、百億、千億、兆，十兆、百兆、千兆、京，以後是垓、秭(zǐ,音仔)、壤、溝、澗、正、載，都是以10的4次方進位。
第二套記數方法要小得多，萬之後是億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載，都是以10的1次方進位。也就是說，使用第一套方法記錄的200萬枚銅錢，如果使用第二套方法記錄就是2兆枚銅錢。
第三套記數方法要大得多，萬之後按照10的8次方、16次方、32次方進位。也就是說，從萬到億是十萬、百萬、千萬、萬萬、十萬萬、百萬萬、千萬萬、億。記錄這麼大的數字，應該說是社會生活和科技發展的需要，證明漢代的文明已經發展到相當的高度。
其次，這麼多銅錢當初是一個一個地數出來的嗎？回答是否定的。因為大量的銅錢一個一個地去數，實在是一件費時費力的事情。據《漢書食貨志》記載，漢武帝東巡時，「所過賞賜，用帛百餘萬匹，錢金以巨萬計，皆取足大農。」又據《漢書東方朔傳》記載，董偃為館陶公主散財以交士，「並令中府曰：『董君所發，一日金滿百斤，錢滿百萬，帛滿千匹，乃白之』。」試想，「巨萬計」、「滿百萬」的銅錢能夠在短時間內一個一個地數清嗎？所以，漢代清點大量的銅錢一定另有門道兒。
據海昏侯墓考古人員介紹，當初銅錢是一串一串放置的，而串連銅錢的絲繩或麻繩早已腐朽成灰痕。好在繩子兩頭的單結尚可辨認。經認真清點，凡是兩頭都有單結的成串完整的五銖錢為1000枚。漢代串銅錢的絲繩或麻繩叫「緡」（mīn,音岷），後來演變為計量銅錢的單位，1000枚銅錢用緡串起來，就叫一緡。漢武帝實行的算緡、告緡政策，都是以千錢一緡為單位。這樣，把數量龐大的銅錢以千錢一緡來清點，工作量無形中減少了上千倍！海昏侯墓中的200餘萬枚錢，實際上是2000餘緡，數起來容易多了。
再次，總重量達到10餘噸的200餘萬枚銅錢，當初在錢庫中是如何堆放的呢？古今中外所有的金庫、錢庫放置貴重金屬或錢幣時，必須整齊碼放，有序排列，規範嚴整，這樣既便於存放，又便於清點，還能隨時查看是否丟失、被盜。而海昏侯墓的錢庫在發掘時，所有銅錢散亂成為一堆（圖6），看不出曾經整齊碼放
圖6
和排列的痕跡。原因何在？這是因為其一，串銅錢的緡是用絲繩或麻繩做的，時間一長就腐蝕掉，成緡的銅錢在自身重量的作用下完全解體；其二，海昏侯墓曾經遭受到一次嚴重地震的襲擊，在橫向與縱向震動的作用下，堆放的大量銅錢被震散；其三，槨室的坍塌致使堆放的銅錢更加散亂。
那麼，當初200餘萬枚銅錢是如何堆放的呢？前面說過，200餘萬枚銅錢實際上是2000餘緡，如果用數學的方法堆起來，可以分為一堆、二堆、三堆、四堆或五堆。為了敘述方便，下面僅以一堆、三堆和五堆為例，作一個初步的探討。
方案一：假設把2000餘緡銅錢放在一起成為一堆，那麼，底部並排碼放70緡（設為a），然後一層一層往上碼，每層遞減一緡，最上面一層為31緡（設為b），共碼放40層（設為c），這樣，用數學公式計算：
(a＋b)×c÷2其中c＝a－b＋1
代入數字後為：
（70＋31）×（70－31＋1）÷2＝2020
也就是說，用2020緡銅錢堆成梯形的一堆。標準的漢五銖錢直徑為25釐米，厚度為01釐米，粗略計算，這堆銅錢碼放大約佔地175平方米，摞起來有1米多高。
方案二：假設把2000餘緡銅錢分為3堆，每堆不到680緡，用同樣的方法計算，底部碼放46緡，頂部碼放29緡，共碼放18層，這樣，這堆銅錢共計675緡，3堆共計2025緡。每堆大約佔地115平方米，3堆共佔地345平方米左右，摞起來不到半米高，比起堆成一堆穩當多了。
方案三：假設把2000餘緡銅錢分為5堆，每堆400餘緡，用同樣的方法計算，底部碼放30緡，頂部碼放11緡，共碼放20層（圖7）。這樣，這堆銅錢共計410緡，5堆共計2050緡。每堆大約佔地075平方米，5堆共佔地375平方米左右，摞起來有半米多高。
圖7
漢代把這種具有長方底及兩斜面的楔形體，叫做「芻甍（méng,音盟）」。當然，如果海昏侯墓中錢庫的面積足夠大，還可以分為更多的「芻甍」來堆放。
四、銅環權使用中的數學之解
漢代人們稱物體的重量，使用的是權與衡。權，其作用如同今天的砝碼或秤砣；衡，其作用如同今天的秤桿，只不過沒有刻度，提紐在秤桿的中間，衡盤放在兩邊，相當於等臂式天平。使用的時候只能用權的重量直接稱出物體的同等重量。
海昏侯墓出土了一套銅環權，大大小小一共十二枚。其中最大的一枚上刻著「大劉一斤」，最小的一枚實測為五銖。從圖片上觀察，十二枚銅環權可以分為六組，每組兩個，重量相等（圖8）。
圖8
漢代的衡制規定，1斤＝16兩，1兩＝24銖。這套銅環權第一組為1斤，第六組為5銖。目前在沒有看到其他四組重量報告的前提下，參照已出土的戰國時期楚國銅環權的制式，假設第二組為8兩（半斤），第三組為4兩，第四組為1兩（24銖），第五組為12銖（半兩）（圖9）。現在的問題是，怎樣用等臂式衡杆稱出1～24銖與1～16兩的重量呢？
圖9
首先看1～24銖的稱重方法。不可否認，由於銅環權最小的是5銖，因此，最難稱的是小於5銖的1銖、2銖、3銖、4銖。但是客觀上也存在著一個便利條件，就是漢代貨幣五銖錢製作非常標準，可以當5銖銅環權使用。
稱1銖時，先拿出五枚5銖共25銖銅環權，放入右邊的衡盤；再拿出1兩（24銖）銅環權，與被稱物體放入左邊的衡盤，兩邊平衡時便得知被稱物體的重量為1銖。
稱2銖時，先拿出半兩（12銖）銅環權，放入右邊的衡盤；再拿出二枚5銖共10銖銅環權，與被稱物體放入左邊的衡盤，兩邊平衡時便得知被稱物體的重量為2銖。
稱3銖時，先拿出三枚5銖共15銖銅環權，放入右邊的衡盤；再拿出半兩（12銖）銅環權，與被稱物體放入左邊的衡盤，兩邊平衡時便得知被稱物體的重量為3銖。
稱4銖時，先拿出一兩（24銖）銅環權，放入右邊的衡盤；再拿出四枚5銖共20銖銅環權，與被稱物體放入左邊的衡盤，兩邊平衡時便得知被稱物體的重量為4銖。
按照同樣的方法，可以任意稱1～24銖物體的重量（圖10）。
圖10
再看1～16兩的稱重方法。由於有1兩、4兩、8兩和16兩四種重量的銅環權，因此可以任意組合稱1～16兩之間的重量（圖11）。下面以稱3兩、11兩、14兩為例，略加說明。
稱3兩時，先拿出4兩銅環權放入右邊的衡盤；再拿出1兩銅環權與被稱物體放入左邊的衡盤，兩邊平衡時便得知被稱物體的重量為3兩。
稱11兩時，先拿出4兩和8兩（半斤）的銅環權放入右邊的衡盤；再拿出1兩銅環權與被稱物體放入左邊的衡盤，兩邊平衡時便得知被稱物體的重量為11兩。
圖11
稱14兩時，先拿出16兩（1斤）的銅環權放入右邊的衡盤；再拿出兩枚1兩銅環權與被稱物體放入左邊的衡盤，兩邊平衡時便得知被稱物體的重量為14兩。
據此，海昏侯墓出土的這套二千多年前的銅環權，設計十分科學，使用起來也是非常方便的。
五、標準量器製作的數學之答
海昏侯墓出土了幾件有銘文的青銅器，非常珍貴，最典型的是昌邑籍田鼎（圖12），上面的銘文是：「昌邑籍田銅鼎，容十鬥，
圖12
重卌（xì,音細）八斤，第廿。」還有一件青銅鋗的銘文是：「昌邑食官銘，容十鬥，重卅斤，昌邑□□年造。」另一件青銅鋗的銘文是：「昌邑食官銘，容四鬥，重十三斤十兩，昌邑二年造。」其中兩件「容十鬥」，一件「容四鬥」，說明這三件青銅器在漢代是標準的量器。
按照漢代的量制規定，1斛＝10鬥，1鬥＝10升。1升相當於現在的200毫升。標準的量器形狀有立方形的（包括長方形和正方形），有圓柱形的，還有圓臺形的。昌邑籍田鼎基本上屬於圓柱形的，漢代叫「圓堡疇」。這裡面就有一個數學問題：如果昌邑籍田鼎的容積是10鬥也就是1斛的話，那麼，這個圓柱體高度和直徑的尺寸應該各是多少呢？
這是一個比較複雜的數學問題，因為它在運算過程中涉及到乘方、開方和圓周率。好在漢代史籍中已經給出了明確的答案。《漢書律曆志》說：嘉量「其法用銅，方尺而圜其外，旁有庣（tiāo,音挑）焉。」東漢時期的「新莽嘉量」上的銘文中記下了更加精確的數據：「律嘉量斛，方尺而圜其外，庣旁九釐五毫，冥百六十二寸，深尺，積千六百二十寸，容十鬥。」
這裡，「方尺而圜其外」，是中國古代定圓的方法，即先確定一個正方形的尺寸，再作外接圓；「庣旁」是指從這個正方形的對角線頂端到外圓圓周線的距離；「冥」同冪，指圓的面積；「深」指圓柱體的高度；「積」，指量器的容積。
從漢代史籍中給出的這個答案，我們可以推測出古代對於「圓堡疇」這種標準量器的計算方法。
第一步，先用勾股定理中以乘方和開方求弦的辦法，計算出一尺（10寸）見方的對角線長度為141421356寸（圖13）。
第二步，將方尺的對角線「庣旁」，兩頭各延長九釐五毫，即0095×2寸，算出底部圓形直徑為143321356寸，半徑為71660678寸。
圖13
第三步，用半徑的平方乘以圓周率，即71660678的平方×π，得出「冥百六十二寸」，即底面積為162平方寸。
第四步，用底面積乘以「深尺」即高，得出圓柱體的體積為162平方寸×10寸＝1620立方寸，容積為10鬥。
同樣的計算方法，也可以用在標準量器——容積為四鬥的青銅鋗上。圓柱體的底面積不變，高度從1尺（10寸）變為4寸，即為標準的四鬥。
這裡有必要談一談我國古代圓周率的數值問題。漢代以前，按照《周髀算經》「徑一而周三」的記載，圓周率為3，是一個大概的數值。海昏侯墓出土的昌邑藉田鼎這類標準量器，提供了西漢時期對圓周率的新認識。如果用已知圓柱體底面積162平方寸，除以半徑71660678寸的平方，可以得出當時的圓周率為31547弱，說明我國在二千多年前對圓周率的認識已經相當準確了。400多年以後，南北朝時期傑出的數學家和天文學家祖衝之,在世界上最早求得更加精確的圓周率為31415926～31415927之間，並且以此考校漢代量器在計算方面的誤差，證明「庣旁」少了一釐四毫。這就充分反映了中國古典數學在不懈的探索中所顯示出來的實用性、傳承性和精確性。
六、更多待解的數學之謎
隱藏在海昏侯墓中的數學之謎還有很多，需要人們繼續去關注、破譯和解答，例如：
①海昏侯墓出土的一套用於盛放化妝品的漆奩（lián,音連）盒，一個大奩盒裡面套著三個形狀不同的小奩盒（圖14），這裡面就涉及到中國古典數學中的「容圓問題」。問題一：當初如果先有大奩盒，在設計的時候，三個小奩盒做大了放不進那個大奩盒，做小了又浪費空間。如何用數學的方法精確計算出三個形狀不同的小奩盒的尺寸，保證做出來的小奩盒正好充滿那個大奩盒？問題二：當初如果先有三個小奩盒，在設計的時候，三個小奩盒正好能夠擺放到那個大奩盒之中，那麼，大奩盒的尺寸應該是多少呢？
圖14
②漆器在漢代是高檔的物品，製作成本比青銅器還要高。海昏侯墓中出土了大量的漆器，其中有的上面還有銘文（圖15），記錄著製作數量、用漆量、用工量、醜布（一種製作夾貯胎的麻布）和丹臾（一種顏料）的用量等。根據漆器上的這些銘文，如何計算出每件漆器製作時的實際成本？能否分別計算出用工成本和用料成本？
圖15
③漢代把一天劃分為12個時辰，同時又劃分為100刻（現代為96刻）。海昏侯墓出土的一面用於測量時間的鏡晷（圖16），既要測出一天12個時辰，又要測出一天100刻。怎樣在不出現小數和分數的情況下，科學地劃分出每個時辰相對應的刻度？
圖16
④考古人員發現，用於建造海昏侯墓槨室的一件方木上刻著「三尺九」。經分析研究，這個尺寸是圓木的直徑，這說明漢代已經掌握了圓木取方的計算方法。現在已知圓木的直徑，那麼，如果做成截面為正方形的木材其邊長最大是多少？
⑤海昏侯墓出土了一組青銅水盆，大小基本相同（圖17）。實際上這組青銅水盆的學名叫做銅鑑，是古代盛水的用具，同時可
圖17
照面容。從形狀上看，這組銅鑑有點像後來的量器——升。如果把它反過來就是一個標準的圓臺體，漢代叫做「圓亭」或「圓圌（chuán,音傳）。而圓圌最初是指古代貯藏糧食的圓囤。現在需要計算一下，這個圓圌的容積是多少？
⑥海昏侯墓的墓道開挖時，坡度越小，越便於搬運建築木料和隨葬物品，但同時增加了土方量；反之，如果坡度越大，越不便於搬運木料和隨葬物品，但可以大大減少土方量。現在實測墓道長度達到16米以上。當初設計墓道的時候選用多大的坡度，既要讓開挖的土方量較少，又便於搬運木料和隨葬物品？
⑦海昏侯墓出土的滴水計時的刻漏（圖18），又稱為滴漏或漏
圖18
刻。刻漏裝滿水後，在不同的水壓下，其流速是不同的，壓力越大，流速越快；壓力越小，流速越慢。這樣就造成了刻漏在計時過程中開始流速快，後來流速慢，快慢之間形成一定的誤差。如何用數學的方法控制或消除這個誤差？再有，刻漏中的水在不同溫度下密度不同，一般地說，溫度越高，密度越小；溫度越低，密度越大。在4℃時密度最大。尤其是在冬季，白天與黑夜的溫差很大，水的密度也會變化，影響到水滴的生成，計時過程中也會形成一定的誤差。如何用數學的方法控制或消除這個誤差？
這些仍待破解的數學之謎，更增添了海昏侯墓的迷人之處。人們把數學比喻為科學皇冠上的明珠。當我們破解隱藏在海昏侯墓器物上的各種數學問題，撥開迷霧，解開啞謎，中國古代科學皇冠上的那顆數學明珠，便煥發出璀璨的光芒，成為照亮中華大地上的一片文明曙光。
2017年4月23日
本文摘自王金中著《管窺漢代文明之光——海昏侯墓出土文物探析》
本文參考資料：《史記》、《漢書》、《中國科學技術史（李約瑟）》、《中國通史（白壽彝）》、《中國歷代度量衡考(丘光明)》、《中國古代發明》、《圖解周易大全》、《考古20167》；《南昌漢代海昏侯國考古成果展》展板說明、近期報刊有關新聞報導。
圖片來源：《五色炫曜》、《驚世大發現》展覽、首都博物館網站。