[STATA] 時間序列模型 - ARIMA檢驗

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  Statistics/Data Analysis           

此次系列文章的主題是通過Stata軟體來分析時間序列的平穩和非平穩關係，以及如何通過Stata軟體來進行不同時間序列模型的預測性分析。

Stata軟體介紹：（https://www.stata.com/）

Stata is the solution for your data science needs. Obtain and manipulate data. Explore. Visualize. Model. Make inferences. Collect your results into reproducible reports.

一、背景介紹

時間序列模型是將一個或一組變量按照時間次序排列，用於解釋變量和相互關係的數學表達式，所得到的離散數字組成的序列集合。時間序列模型，可分為平穩時間序列和非平穩時間序列。平穩時間序列可以用來擬合回歸方程進行未來的預測，而非平穩的時間序列不能直接做回歸，會產生沒有實際意義的偽回歸。（不平穩的時間序列數據可能會帶來t檢驗失敗、自回歸係數估計值有偏向的等問題）

首先，判斷一個時間序列是不是平穩，主要有三個評價指標：

1. 均值是與t無關的函數

2. 方差是與t無關的函數 （即方差齊性）

3. 協方差是與t無關的函數。（協方差用于衡量兩個變量的總體誤差。當兩個變量是相同的情況時，協方差體現為方差。）

（圖片來源：https://blog.csdn.net/qq_40006058/article/details/80191168）

對於單獨的非平穩時間序列，需要通過分來將非平穩時間序列變為平穩時間序列。如果對於兩個非平穩時間序列，它們的某些線性組合是平穩的，那麼這兩個非平穩時間序列則存在協整關係，我們便可以基於協整關係去探索序列之間的長期均衡關係了。

二、統計學模型

驗證時間序列的模型有：

AR - Auto Regression, 自回歸模型。自回歸模型AR(p)，p-自回歸階數；AR可以解決當前數據與後期數據之間的關係；

MA - Moving Average，移動平均模型。移動平均模型MA(q)，q-移動平均階數；MA則可以解決隨機變動也就是噪聲的問題；

ARMA - Auto Regression and Moving Average，自回歸移動平均模型。自回歸移動平均模型是與自回歸和移動平均模型兩部分組成；(以上三類模型可以直接應用於平穩時間序列模型)

ARIMA - Auto Regression Integreate Moving Average，差分自回歸移動平均模型。同前面的三種模型，ARIMA模型也是基於平穩的時間序列的或者差分化後是穩定的，另外前面的幾種模型都可以看作ARIMA的某種特殊形式。表示為ARIMA(p, d, q)。p為自回歸階數，q為移動平均階數，d為時間成為平穩時所做的差分次數。（前面三種模型，d=0，即平穩時間序列模型不需要做差分）

ARCH - Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity, 自回歸條件異方差模型，用來解決傳統計量經濟學對時間序列變量的第二個假設（變異數恆定）所引起的問題；

GARCH - Generalized Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity, 廣義自回歸條件異方差模型，GARCH模型是一個專門針對金融數據所量體定做的回歸模型。和普通回歸模型相比，GARCH對誤差的方差進行了進一步的建模，特別適用于波動性的分析和預測，這樣的分析對投資者的決策能起到非常重要的指導作用；

VAR - Vector Auto Regression, 向量自回歸模型, 描述在同一個樣本期間內的n個變量（內生變量）可以作為他們過去值的線性函數；VAR模型的方法是通過將變量作為一個系統來預測，被稱為「多變量時間序列」，即向量自回歸；

受限因變量模型：通俗的講，是由於某種原因無法觀察到被解釋變量的全部值。在實際中，還會經常遇到因變量受到某種限制的情況，這種情況下，取得樣本數據來自總體的一個子集，可能不能完全反映總體。例如，小時工資、住房價格和名義利率都必須大於零。這時需要建立的經濟計量模型稱為受限因變量模型（limited dependent variable model ）。

斷尾回歸模型

截取回歸模型

樣本選擇模型

三、Stata實證分析

ARIMA模型實踐

ARIMA模型分析時間序列的基本步驟為：將原始數據的時間序列可視化，觀察平穩與非平穩分布 - 通過單位根檢驗，判斷時間序列是否為平穩 - 通過ADF找到最優參數，建立ARIMA模型 - 進行預測

打開Stata/MP 13.1軟體，初始界面如下：

打開實例數據wp1,stata默認的數據文件後綴為.dta

打開data-editor，查看導入的數據。wpi - wholesales price index - 批發價格指數，Lnwpi - wpi的對數。

要檢測時間數據，需要首先定義數據為時間序列，在command中輸入命令：tsset t

將原始數據的時間序列進行可視化處理，作圖觀察時間序列的趨勢：

line wpi t

直觀看此時間序列為非平穩時間序列分布；但是需要通過驗證才可以得出相應結論。

通過觀察自相關圖與偏相關圖，最主要的目的還是確定序列的ARMA（p，q）模型的具體形式。

一般拿到數據後，先看你數據是否存在協整關係，存在就用平穩數據，不存在只能嘗試差分後處理。差分的目的是消除序列的不平穩性，使其波動曲線更平穩。通過一階插分和二階插分的時序，來進行ADF單位根檢驗，進而判斷後面的序列是否平穩。

對原始數據進行單位根檢驗：dfuller ln_wpi

Z test都大於檢驗各檢驗臨界值，且p-value>0.05

所以原序列是非平穩時間序列；

對一階差分後的數據進行單位根檢驗：dfuller d.ln_wpi

Z-test都小於各檢驗臨界值，且p-value<0.05

所以一階差分後，序列變為平穩時間序列；

對時序進行二階差分的單位根檢驗：dfuller d2.ln_wpi

結果顯示，二階差分的時序為平穩時間序列。

（* 滯後幾階與幾階差分的含義不同：滯後二階是指取前兩期的值；二階差分就是，後一期一階差分減去前一期一階差分。）

一階差分就是離散函數中連續相鄰兩項之差。繪製一階差分圖：

line d.wpi t,yline(0)

(yline(0)表示在y=0處做一條直線)

繪製二階插分圖：line d2.wpi t,yline(0)

可以看出二階差分的時序圖，直觀上已經接近於一個平穩時間序列了。

AC圖確定的是p，PAC圖確定的是q。判斷ARIMA模型的傳統方法是通過ACF(自相關圖)和PACF(偏自相關圖), 看ACF和PACF快速衰減的位置，看不同階數對應快速衰減到標準差之內的位置。觀察ACF和PACF的模式，主要看圖形分布上是否有如下兩個特徵：

截尾：到了某個位置，係數突然變化，像被「截斷」了一樣；

拖尾：就是係數整體是一個單調漸變的趨勢，但都不為0；

若ACF拖尾，PACF截尾，用AR算法；

若ACF截尾，PACF拖尾，用MA算法；

若ACF,PACF都是拖尾，用ARMA算法；不平穩用ARIMA算法；

如果，ACF和PACF的模式不明顯，則需要嘗試不同的參數值，然後通過赤池信息準則來判斷。

繪製一階差分的自相關圖：ac d.wpi

（AC - Autocorrelation）

繪製一階差分的偏自相關：pac d.wpi

(PAC - Partial Autocorrelation)

根據圖示，ACF的特徵類似於拖尾，PACF則沒有明顯的特徵模式。當ACF,PACF沒有明顯特徵時，需要通過赤池信息來判斷。

赤池信息準則：通過AIC作為衡量統計模型擬合優良性的一種標準。它建立在熵的概念基礎上，可以權衡所估計模型的複雜度和此模型擬合數據的優良性。根據不同參數組合的AIC值來判斷模型的好壞，AIC越小越好。

（AIC實際上是對樣本內誤差（in sample error）的估計量，即在訓練樣本的基礎上，保持自變量不變，觀察到一組新的y', 然後計算模型在這個新樣本中得到誤差的期望值。）

通過單位根檢驗判斷此時間序列是否為平穩時間序列：dfuller ln_wpi,lag(3) trend regress （此處假設滯後3期，lag（3）。正常做法是要進行多次滯後項的驗證，然後去評判擬合回歸的顯著性效果。）

ADF(Augmented Dickey-Fuller) 單位根檢驗 (unit root test) 的原假設為：H0:p=1, 備擇假設為：H1:p<1. (p=1表明存在單位根，原時間序列為非平穩時間序列)

ADF檢驗的邏輯：如果序列平穩，則不會存在單位根；如果序列不平穩，則可以通過差分變換，檢驗差分後的序列是否平穩。

ADF原假設H0為存在單位根（非平穩），對於一個平穩的時間序列數據，就要在給定的置信水平上顯著，拒絕原假設。

拒絕原假設的判別條件：1>統計量顯著小於3個置信度（1%，5%，10%）的臨界統計值時；2>Z統計量的P-value接近0。

\]

通過單位根檢驗結果可以看到在1%，5%，10%顯著性水平下的臨界值分別為1%-critical value=-4.033, 5%-critical value=-3.447, 10%-critical value=-3.147，Z檢驗統計量值為-2.25。而ADF是左側單邊檢驗，只要Z檢驗統計量值大於各臨界值，則不能拒絕原假設H0(即p=1)，原序列為非平穩時間序列。且p-value=0.4617，不能顯著拒絕原假設。

回歸係數的解讀：

L1 - 表示回歸係數；

LD，L2D和L3D - 分別代表了滯後1-3階滯後項對應的係數；LD滯後項p值為0，L2D滯後項p值為0.036，兩項在5%顯著性水平上都非常顯著；L3D滯後項的p值為0.145，在5%顯著性水平上顯著性一般；

_trend - 時間趨勢項；p值為0.024，時間趨勢在5%水平上很顯著；

_cons - 常數項；

在Stata中，ARIMA模型被看做帶有ARIMA擾動項的結構模型,ARIMA模型公式中本質上使用的是MLE(最大似然估計)，對於序列ln_wpi，通過判斷為非平穩時間序列，所以ARIMA(p,d,q)模型中，d=1。ARIMA(p,1,q)中的 自回歸階數p 和 移動平均階數q 通過信息準則來確定，假定模型為ARIMA(1,1,1)，在Stata中輸入如下命令：

arima ln_wpi,airma(1,1,1)

estat ic

再分別求出ARIMA(2,1,1)，ARIMA(1,1,2)，ARIMA(2,1,2)的結果：

ARIMA(2,1,1)

ARIMA(1,1,2)

ARIMA(2,1,2)

可以看出ARIMA(1,1,1)中的AIC和BIC最小，p=1,q=1,d=1為ARIMA模型最優參數。擬合模型後，需要對殘差序列檢驗是否為白噪聲，輸入：

predict r,residual

數據集中生成了新的殘差序列r：

一個標準的檢驗流程中，需要比較不同預測方法得到的預測結果的殘差。正常情況下，殘差應該為平穩序列。

我們對得到的殘差列進行單位根檢驗：

dfuller r

根據z-test和p-value，殘差為平穩時間序列；

繪製殘差圖如下，也可以直觀的看出是一個平穩的時間序列。

line r t,yline(0)

係數顯著性檢驗通過後，要進行模型的有效性檢驗，也就是檢驗殘差性是否為白噪聲：

用Q統計量進行白噪聲(white noise)檢驗：

wntestq r

wntestb r

通過白噪聲檢驗的結果，可知模型的有效性擬合效果較好。

下面開始模型的預測：

生成未差分的wpi時間序列y：preidct y,y

生成差分後的wpi序列xb：predict xb,xb

比對ARIMA模型生成的預測值和原始值的擬合線對比：

line ln_wpi y t, yline(0)

(紅色為預測值擬合線，黑色為原始值擬合線)

樣本外預測，首先添加預測值的空白填充位置：

tsappend,add(4)

對差分後序列的預測：predict y_hat

對原序列wpi的預測：predict yy_hat,y

（在STATA中，ARIMA模型只能預測未來1期的數值。）

將預測值與原始值的擬合曲線進行比較：line ln_wpi yy_hat t, yline(0)

可以看出紅色擬合線對應的多出一期的預測值已經體現。

下一篇將總結時間序列模型之ARCH和GARCH模型，在STATA中的使用方法和規範。

「筆人自認才疏學淺，僅略知皮毛，更兼時間和精力所限，文中錯謬之處在所難免，若蒙讀者諸君不吝告知，將不勝感激。」