一、三角形外角的概念及特徵
如圖1，像∠ACD那樣，三角形的一邊與另一條邊延長線組成的角叫三角形的外角。
圖1
外角特徵：
（1）頂點在三角形的一個頂點上，如∠ACD的頂點C是△ABC的一個頂點；
（2）一條邊是三角形的一邊，如∠ACD的一條邊AC正好是△ABC的一條邊；
（3）另一條邊是三角形某條邊的延長線如∠ACD的邊CD是△ABC的BC邊的延長線。
二、性質
1、三角形的外角與它相鄰的內角互補。
2、三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
3、三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
4、三角形的外角和等於360°。
三、應用
1、求角的度數
例1、一個三角形的兩個內角分別是55°和65°，這個三角形的外角不可能是（ ）
A. 115°
B. 120°
C. 125°
D. 130°
解析：如圖2，∠A的外角為：180°=125°。
∠B的外角為：180°－65°=115°
∠ACB的外角為：55°+65°=120°
所以選D。
圖2
例2、如圖3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，則∠E=（ ）
A. 23°
B. 42°
C. 65°
D. 19°
圖3
解析：延長BE交CD於F
因為AB//CD
所以∠1=∠B=23°
∠BED是△EDF的外角
則∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65°
故選C。
例3、如圖4，AB=AC，∠BAD=，且AE=AD，則∠EDC=（ ）
A.
B.
C.
D.
圖4
解析：設∠EDC=x°
因為∠ADC是△ABD的外角
所以∠ADC=∠ABC+∠BAD
即∠ADE+x=∠ABC+ （1）
因為AB=AC，AD=AE
所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED
而∠AED是△DEC的外角
所以∠AED=∠EDC+∠C
即∠AED=x+∠C （2）
將（2）代入（1）得：
所以
所以選A。
2、判定三角形的形狀
例4、已知三角形的一個外角小於與它相鄰的內角，那麼這個三角形是（ ）
A. 銳角三角形
B. 直角三角形
C. 鈍角三角形
D. 以上三種情況都有可能
解析：如圖5，在三角形ABC中，∠BAC的外角∠CAD<∠BAC
而∠CAD+∠BAC=180°
即：∠CAD=180°－∠BAC
所以180°－∠BAC<∠BAC
所以∠BAC>90°
故選C
圖5
3、證明兩角相等
例5、如圖6，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在BC、AC邊上，且∠ADE=∠B，AD=DE。求證：△ADB≌△DEC。
圖6
分析：因為∠ADC是△ADB的外角
所以∠ADC=∠B+∠BAD
而∠ADE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠CDE
所以∠ADE+∠CDE=∠ADE+∠BAD
因此∠BAD=∠CDE
又AB=AC，可得∠B=∠C
而AD=DE
所以△ADB≌△DEC
例6、在等邊三角形中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD=60°，BP=1，，則△ABC的邊長為（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
圖7
分析：因為△ABC為等邊三角形，所以∠B=∠C=60°
又因為∠APC是△ABP的外角
所以∠APC=∠B+∠BAP
而∠B=∠APD=60°
所以∠BAP=∠CPD
又∠B=∠C，所以△ABP∽△PCD
所以。
設△ABC邊長為x，則
解得x=3
故選A
4、證明角度不等關係
例7、已知：如圖8，在△ABC中，D是三角形內一點，求證：∠BDC>∠BAC。
圖8
證明：延長BD交AC於E
在△ABE中，∠BEC>∠A
在△CDE中，∠BDC>∠BEC
所以∠BDC>∠A
例8、已知：如圖9，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC於D，E是AD上一點，求證：∠DEC>∠ABC。
圖9
證明：因為∠BAC=90°
所以∠BAD+∠DAC=90°
又因為AD⊥BC
所以∠ADB=90°
所以∠ABC+∠BAD=90°
所以∠ABC=∠DAC
又因為∠DEC是△AEC外角
所以∠DEC>∠DAC
所以∠DEC>∠ABC
5、證明角度的和差關係
例9、如圖10，已知：在△ABC中，AB>AC，∠AEF=∠AFE，延長EF與BC的延長線交於G，求證：。
圖10
證明：因為∠AEF=∠B+∠G
又因為∠AEF=∠AFE，∠AFE=∠GFC
所以∠AEF=∠GFC
所以∠GFC=∠B+∠G ①
又因為∠ACB=∠GFC+∠G ②
①+②得：∠ACB=∠B+2∠G
所以
例10、如圖11，求證：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
圖11
證明：如圖11，∠1=∠C+∠D，∠2=∠A+∠E
而∠1+∠2+∠B=180°
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°