在歷年中考數學真題中，有一類題目是伴隨始終頻頻出現，這就是有關三角形的線段或者是角度計算問題，今天專門針對三角形的線段比例或者面積比例舉例說明，探索和總結其中的規律。
【例1】如圖，G是△ABC的重心，直線L過A點與BC平行．若直線CG分別與AB，L交於D，E兩點，直線BG與AC交於F點，則△AED的面積：四邊形ADGF的面積=（ ）
A 1：2
B 2：1
C 2：3
D 3：2
【知識儲備】
本題首先要解決的問題是：
①什麼是三角形的重心？
三角形重心是三角形三邊每一邊的三條中線的交點。當幾何體為勻質物體時，重心與該形中心重合。
②重心有哪些性質？
性質1：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1
性質2：重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等
【解題思路】根據重心的概念得出D，F分別是三角形的中點．若設△ABC的面積是2，則△BCD的面積和△BCF的面積都是1．又因為BG：GF=CG：GD，可求得△CGF的面積．則四邊形ADGF的面積也可求出．根據ASA可以證明△ADE≌△BDC，則△ADE的面積是1．則△AED的面積：四邊形ADGF的面積可求。
【解題過程】
解：設三角形ABC的面積是2
∴三角形BCD的面積和三角形BCF的面積都是1
∵BG：GF=CG：GD=2
∴三角形CGF的面積是1/3
∴四邊形ADGF的面積是2-1-1/3=2/3
∵△ADE≌△BDC（ASA）
∴△ADE的面積是1
∴△AED的面積：四邊形ADGF的面積=1：2/3=3：2．
【例2】求證：三角形的三條中線交於一點，且被該交點分成的兩段長度之比為2：1．
【分析思路】連接DF，設AD和BF交於G點，根據三角形的中位線性質可得AB=2DF，DF∥AB，然後根據平行線分線段成比例定理從而得到AG=2GD，BG=2GF，同理證得CG′=2G′E，AG′=2G′D，即可證得結論．
【解題過程】
證明：如圖，連接DF，設AD和BF交於G點，∵AD、BF、CE是△ABC的中線∴DF是△ABC的中位線，∴AB=2DF，DF∥AB，∴AG/GD=BG/GF=AB/DF=2/1，∴AG=2GD，BG=2GF，設AD和CE交於G′，同理可得：CG′=2G′E，AG′=2G′D，即G和G′重合，所以，三角形的三條中線AD、BF、CE交於一點，且被該交點分成的兩段長度之比為2：1．
【挑戰自我】
我們給出如下定義：三角形三條中線的交點稱為三角形的重心．一個三角形有且只有一個重心．可以證明三角形的重心與頂點的距離等於它與對邊中點的距離的兩倍．可以根據上述三角形重心的定義及性質知識解答下列問題：
如圖，∠B的平分線BE與BC邊上的中線AD互相垂直，並且BE=AD=4
（1）猜想AG與GD的數量關係，並說明理由；
（2）求△ABC的三邊長．
【分析】（1）根據BE平分∠B可知∠ABG=∠DBG，再根據全等三角形的判定定理可知△ABG≌△DBG，由全等三角形的對應邊相等即可得出結論；
（2）延長BA到F，使AF=BA，由AD是BC的中線，可知AD是△BFC的一條中位線，延長BE交CF於H點，則BH垂直平分FC，可知E是△BFC的重心，由三角形重心的性質可求出AE、EH、HC的值，再根據勾股定理求出BC、EC的長，進而可得出AC的長．
【解題過程】
（1）解法1：AG＝GD，
∵BE平分∠B，
∴∠ABG=∠DBG，
∵BG⊥AD，BG=BG，
∴∠BGA=∠BGD，
∴△ABG≌△DBG，
∴AG=GD，AB=BD；
解法2：AG=GD．
∵BE平分∠B，
∴∠ABG=∠DBG，
∵BG⊥AD，BG=BG，
∴∠BGA=∠BGD，
∴△ABG≌△DBG，
∴AG=GD
（2）
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