約翰·馮·諾依曼(John von Neumann,1903.12.28—1957.2.8)這個名字, 對大多數讀者都不會是陌生的.人們首先想到的很可能是他在研製世界上第一顆原子彈和第一臺可編程數字式電子計算機中所做的貢獻.這些確實是他的重要成就,但他對人類的貢獻遠不止於此.
馮·諾依曼是匈牙利裔美國數學家、物理學家、計算機科學家和博學家. 馮·諾依曼一般被認為是他那個時代最重要的數學家,並且被稱為「偉大的數學家的最後一位代表」;他是一位自由馳騁於自然科學與應用科學的天才.
他在許多領域中做出了重大貢獻,包括數學(數學基礎、泛函分析、遍歷理論、表示理論、算子代數、幾何、拓撲、線性規劃和數值分析),物理學(量子力學、流體動力學和量子統計力學),經濟學(博弈論),計算機(馮諾依曼總體結構、自我複製機器、隨機計算)和統計學.
他是把算子理論應用於量子力學的先驅,也是博弈論和細胞自動機、通用構造和數字計算機等概念發展中的關鍵人物.
他一生共發表了150多篇論文：純數學的和應用數學的各約60篇,另有約20篇是物理學的,其餘為專題性的.他的最後一部作品是他在醫院中寫的一份未完成的手稿,後來以書籍形式出版,名為《計算機與人腦》.
他對自我複製結構的分析先於DNA結構的發現.他在早年向美國國家科學院提交的簡歷中說,「我認為我最重要的工作是量子力學,1926年在哥廷根及1927～1929年在柏林進行了這方面的研究.此外,1930年在柏林和1935～1939 年在普林斯頓對各種形式算子理論進行研究, 1931～1932年在普林斯頓對遍歷定理進行研究.」
在第二次世界大戰期間,馮·諾依曼與理論物理學家愛德華·泰勒(Edward Teller), 數學家斯坦尼斯拉夫·烏蘭(StanislawUlam)等一起參加曼哈頓計劃, 解決了核物理中涉及熱核反應和氫彈的關鍵問題.他開發了內爆型核武器中使用的爆炸鏡頭的數學模型,並創造了TNT這個術語用來度量爆炸力,TNT是與黃炸藥相比的爆炸當量,一般以千克或噸計.
1945 年, 馮諾依曼等在第一臺計算機的一個課題報告的初稿中描述了具有以下組件的電子數字計算機的設計架構：
處理單元,包括算術邏輯單元和處理器寄存器;
控制單元,包括指令寄存器和程序計數器;
存儲數據和指令的內存;
外部大容量存儲;
輸入和輸出裝置.
這種「馮·諾依曼架構」被應用於任何有存儲程序的計算機,其中指令獲取和數據操作不能同時發生,因為它們共享公共總線.這一點被稱為馮·諾依曼瓶頸,可能限制系統的性能.與之對比的是「哈佛架構」,其中有一組專用的地址和數據總線讀寫內存,另一組獲取指令.但馮·諾依曼架構機器的設計比哈佛架構機器更簡單,現代計算機幾乎都採用馮·諾依曼架構.
約翰·馮·諾依曼的《量子力學的數學基礎》是一本革命性的著作，它引起了理論物理學的巨大變化.在這本書中，作者通過探索量子力學的數學結構，可以獲得對量子物理學的深入洞見.他首先介紹了埃爾米特算符和希爾伯特空間理論，它們提供了轉換理論的框架，馮·諾依曼將其視為量子力學的確定形式.應用這一理論，他用嚴謹的數學來應對量子理論中的一些普遍問題，如量子統計力學以及測量過程.
以上是馮·諾依曼重要成就的簡述,本文將重點介紹與本書密切相關的他在量子力學方面的貢獻.
他對量子力學的興趣開始於1925年,其間該學科剛剛因玻恩(Born)、海森伯(Heisenberg)和若爾當(Jordan),以及之後狄拉克(Dirac)的工作而有了一個完整系統.馮·諾依曼當時在柏林工作,他經常訪問海森伯所在的哥廷根,那裡的首席數學家是希爾伯特(Hilbert).
希爾伯特對量子力學非常感興趣,並鼓勵數學家與物理學家進行合作.在希爾伯特看來,量子力學當時在數學方面是一團糟.海森伯沒有使用嚴謹的數學,也沒有學習的意願.狄拉克則隨意使用他那著名的δ函數,該函數在一點無限,在他處為零,當時這種定義令人難以接受(只是在二十年後,施瓦茨(Schwarz)提供了δ函數的嚴謹基礎).當時的理論以兩種不同的數學方式表達：海森伯、玻恩和若爾當的「矩陣」力學和薛丁格(Schrdinger)的「波動」力學.這兩種表達方式的數學等價性已經由薛丁格確定,二者都作為狄拉克和若爾當發展的一般形式(通常稱為「變換理論」)的特例.然而,這種形式是相當笨拙的,原因是它依賴於定義不明確的數學對象——δ函數.
馮·諾依曼很快意識到,用希爾伯特空間的抽象公理理論及其線性算子可以提供自然得多的框架.在這種數學形式下,物理系統的狀態由希爾伯特空間中的向量描述,可觀測量用埃爾米特(Hermite)算子表示.
量子理論的希爾伯特空間形式化的一個基本特徵是,最重要的物理量(如位置、動量或能量)由無界埃爾米特算子表示.因為理論對測量結果的預測使得代表物理量的算子的譜解析度有了實質性的應用,馮·諾依曼在他最初的研究中,面臨把已知的有界埃爾米特算子譜理論拓展到無界情形的問題.到1929年,他給出了這個問題的一個完整的解決方案.他引入了超極大對稱算子這個最重要的概念,這是具有譜解析度的最一般的埃爾米特算子.
因此,量子力學的物理學被簡化為希爾伯特空間和其中的線性算子的數學.例如,不確定性原理被轉化為兩個對應算子的不可易性.根據不確定性原理,粒子位置的測定阻止其動量的測定,反之亦然.這個新的數學公式包括了海森伯和薛丁格的特殊情況.
在用希爾伯特空間中的向量和算子表達量子力學的過程中,馮·諾依曼也完整和一般地給出了理論闡釋的基本統計規則.該規則涉及處於給定量子態的系統中給定物理量的測量結果,並藉助一個簡單且現在眾所周知的公式來表示其概率,該公式涉及狀態的向量表示及代表物理量的算子的頻譜解析度.這條規則,最初由玻恩於1926年建議,是馮諾依曼全概率量子力學數學分析的起點.1927年,他的論文引入了統計矩陣的概念,用於描述不一定全部在相同的量子態的系統的總體.統計矩陣(現在通常稱為「ρ矩陣」,但馮·諾依曼使用的符號是U )已成為量子統計學的主要工具之一.正是這一貢獻,即使對數學最不關心的物理學家也知道馮·諾依曼這個名字.
在同一篇論文中,馮·諾依曼還研究了一個現在仍然在討論的問題,即量子–機械測量過程和它涉及的非因果元素的理論描述.馮·諾依曼在數學上十分優雅地對這個微妙問題進行了研究.為了在物理上澄清量子現象對物理測量本質的重要意義,需要進行許多研究,馮·諾依曼的數學對此提供了一個清晰的形式框架.
1927年論文的結果立即被作者用作量子熱力學的基礎.類似於眾所周知的熵的經典公式
其中, f 記相空間中的一個分布函數, 他給出了量子統計熵
其中, ρ記一個統計矩陣.
他進一步寫下了標準總體在溫度T 時的密度矩陣,
其中, H是哈密頓算子.兩年後,馮·諾依曼回到量子熱力學,對一個困難得多的問題做出了貢獻：量子系統遍歷定理的公式與證明.這項工作的基本原則是,通過考慮所有具有一定不準確性的給定值的宏觀量量子態的集合,定義相空間中細胞的量子類似物.進一步用酉變換U將這些量子態與哈密頓本徵態相關聯,於是遍歷性對酉變換U的「幾乎每個」值都成立.雖然後一個限制從物理上看是相當不能令人滿意的,必須考慮到馮·諾依曼的遍歷定理是對一個最困難論題的極少數重要貢獻之一,該論題即使到現在還遠未完全澄清.
近年來,顧樵在量子統計熵的意義上討論了最大熵原理,導出了混沌態、相干態和壓縮態;最重要的是,他又進一步利用量子統計熵給出了生物光子學的結果.
馮·諾依曼的抽象處理也使他能夠應對決定論與非決定論的基本問題,他在書中提出了一個證明,即量子力學的統計結果不可能如同在經典統計力學中那樣,是一組確定的「隱藏參數」的平均值.1935年,格雷特·赫爾曼(Grete Hermann)發表了一篇論文,認為該證明因包含概念性錯誤而無效.赫爾曼的工作長期被忽略,直到約翰· S.貝爾(John S. Bell)於1966年提出了基本相同的論點.然而,傑弗裡布勃(Jeffrey Bub)於2010年指出貝爾誤解了馮·諾依曼的證明,並指出該證明雖然不適用於所有隱藏參數理論,但至少排除了一個有明確定義的重要子集.布勃也表示馮·諾依曼意識到了這種局限性,但並未聲稱他的證明完全排除了隱藏參數理論.另一方面,對布勃論證的有效性也存在爭議.
馮· 諾依曼的證明引發了一系列研究,通過貝爾在1964年根據貝爾定理的工作以及1982年阿蘭·阿斯佩科特(Alain Aspect)的實驗,最終證明了量子物理學或者要求與經典物理學有實質性不同的現實的概念,或者必須包括明顯違反狹義相對論的非局域性.
在本書第六章中,馮·諾依曼深入地分析了測量問題.他的結論是,整個物理世界都可能受到通用波函數的制約.由於需要「計算之外」的某些東西來使波函數崩潰,馮·諾依曼得出結論,崩潰是由實驗者的意識引起的.馮·諾依曼認為,量子力學的數學允許波函數的坍塌位於測量裝置到人類觀察者「主觀意識」因果鏈中的任何位置.尤金·維格納(Eugene Wigner)接受了這種觀點,但該觀點並未得到大多數物理學家的認可.馮·諾依曼–維格納的解釋可總結如下.
量子力學的規則是正確的,但只有一個系統可以用量子力學來處理,即整個物質世界.存在無法在量子力學中處理的外部觀察者,即人類(也許是動物)的思想,它們對大腦進行測量,導致波函數坍塌.
馮·諾依曼在本書中首次提出了量子邏輯,他指出希爾伯特空間上的投影可以看作關於物理可觀測量的命題.量子邏輯領域隨後在馮·諾依曼和加勒特·伯克霍夫(Garrett Birkhoff)於1936年發表的著名論文中揭開序幕,其中他們首次證明了量子力學需要的命題演算與所有經典邏輯有實質性的不同,並為量子邏輯嚴格地隔離了一個新代數結構.創造量子邏輯命題演算的概念首先在馮·諾依曼1932年的一篇文章中作了簡短的概述,然後在1936年,對新命題演算的需求通過幾個證明予以說明.
雖然量子力學理論直到今天仍在演化,但量子力學中問題的數學表達方式有一個基本框架,作為大多數方法的基礎,它可以追溯到馮·諾依曼最初使用的數學表達方式和技巧.換句話說,關於量子力學理論闡釋的討論及其拓展,目前主要是在共同認可的數學基礎上進行的.
在出版之時，這本書被視為一部力作。時至今日，對於那些對量子力學的基本問題感興趣的人而言，本書仍然是不可或缺的。
本文摘編自《量子力學的數學基礎》[（美）約翰·馮·諾依曼；凌復華譯. 北京：科學出版社，2020.08]一書「譯者序」，有刪減，標題為編者所加。
ISBN 978-7-03-065547-9
《量子力學的數學基礎》是一本革命性的著作，它引起了理論物理學的巨大變化。在這本書中，20世紀最著名的數學家之一約翰·馮·諾依曼(John von Neumann)說明，通過探索量子力學的數學結構，可以獲得對量子物理學的深入洞見。他首先介紹了埃爾米特算符和希爾伯特空間理論，它們提供了轉換理論的框架，馮·諾依曼將其視為量子力學的確定形式。應用這一理論，他用嚴謹的數學來應對量子理論中的一些普遍問題，如量子統計力學以及測量過程。本書可供物理、數學等相關學科的科研人員參考閱讀。
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