決定更新一下數學分析和高等代數、抽象代數、常微分方程等方面的內容。今天就先從高等代數的核心要點線性變換開始，線性空間系列也會在近期更新。首先我們要知道什麼叫線性變換。
首先，我們給出如下的定義：
有了線性變換的定義我們接著來討論下面的內容。首先我們給出一個引理：
有了這個引理作為保證，我們於是就可以得到下面一個非常重要的結論：
我們可以證明在這二者之間可以建立起一個一一映射，即是滿射且同時是一個單射，並且根據前面線性變換的定義可以證明這個映射同時還是線性的，根據同構映射的定義，此映射為同構映射。或者說這二個線性空間是同構的。我們知道同構的二個線性空間它們的維數是一樣的，或者可以認為他們具有完全相同的結構。而數域K上的全體n階方陣他們的維數是n的平方這樣我們就不用直接去求某一數域上的線性空間中的全體線性變換作成的線性空間的維數，而且也不是那麼容易計算出來的，從同構的角度來看這個問題就變得容易。並且我們可以證明如下的結論：
線性變換的加法對應於矩陣的加法
線性變換的數乘對應於矩陣的數乘
線性變換的乘積對應於矩陣的乘積
線性變換的逆對應於矩陣的逆
單位變換對應於單位矩陣
0變換對應於零矩陣
通過同構映射的概念我們就把線性變換跟方陣建立起了聯繫。這樣子我們就知道一個線性變換就對應於一個n階的方陣，一個n階的方陣也對應於一個線性變換因它們是同構的。
其實，我們也可以通過線性空間的定義來證明某一數域上的線性空間中的全體線性變換對於線性變換的加法與數乘也做成一個線性空間。當然在這裡我們討論的是：不同的線性變換在同一組基下的矩陣A、B之前的關係——線性變換的加法與乘法在線性空間中某一組基下的矩陣為他們在這組基之下的矩陣之間做加法與乘法運算之後的矩陣。在以後的討論裡我們還會提到：同一個線性變換在不同的矩陣之間的一個關係，從而給出矩陣相似的概念。矩陣的相似也是矩陣之間的一種等價關係，它是除矩陣相抵、矩陣的合同之外另一種矩陣的等價。
講到這裡順帶的提一下：整數和正整數、實數與有理數誰多之類的問題。事實上，我們可以在整數與正整數之間建立起一個一一映射，也就是說任何一個整數都可以找到一個正整數與它對應（映射定義）且不同的整數對應於不同的正整數（單射定義），每一個正整數也可以找到一個整數與它對應（滿射定義），而一一映射即是滿射且單射的映射。