對於規則的圖形的面積，比如我們熟悉的矩形、圓形、三角形等，我們都可以利用公式直接計算圖形的面積，但是對於不規則的圖形的面積如何計算呢？如何計算曲線的長度？本節將帶你了解定積分在幾何方面的起源和發展，學習定積分在幾何方面的應用，即利用微元法思想去求解不規則圖形的面積、曲線弧長及旋轉體體積等。
定積分在幾何問題研究上的起源和發展
早公元前3世紀，古希臘的歐幾裡得和阿基米德就利用窮竭法計算圖形的面積。在魏晉南北朝時期，我國數學家劉徽就提出了割圓術，利用圓的內接正多邊形去逼近圓的面積，從而計算出了圓的周長、面積以及圓周率（近似值）。這些內容在之前的章節已有介紹，不再重複。
17世紀求面積、體積、曲線長度的計算問題始於克卜勒對酒商酒桶體積的懷疑，他發表了《測量酒桶體積的新科學》，論述了旋轉體的體積的積分法。他認為球的體積是無數個小圓錐體積之和；圓錐可以看成是非常薄的圓盤體積之和（"無限多個無限小元素之和"），並計算出了它的體積，並證明了球的體積是半徑R乘以球的表面積的三人之一，即 V=R×4πR×1/3。
除此之外，克卜勒在探索行星運動規律時，提出了如何計算橢圓面積和橢圓弧長問題，為後來的數學家開闢了廣闊的思考空間，推動了數學的發展。
克卜勒（1571-1630）
卡瓦列裡提出了不可分量方法，他認為面積是無數個等距平行線段構成的。線是由點構成的，就像鏈子由珠子串成一樣，體積是由平面構成的，就像書是由頁組成的一樣。他把這些元素叫做點、線、面和體的「不可分量」。
卡瓦列裡原理 兩個等高的立體，如果它們的平行於底面且離開底面有相等距離的截面面積之間總有給定的比，那麼這兩個立體的體積之間也有同樣的比。
卡瓦列裡原理與我國數學家祖𣈶提出的「冪勢既同，則積不容異」的祖𣈶原理本質是相同的。卡瓦列裡利用這條原理計算出來了很多立體圖形的體積，包括克卜勒提出的關於拋物線拱形繞弦旋轉而成的旋轉體體積。
費馬不但在求切線、極大值和極小值等微分問題方面有突出的貢獻，他在積分方面做了重要的工作，費馬克服了卡瓦列裡方法的缺點，幾乎採用了現代積分的全過程，用小矩形面積近似小曲邊圖形面積，最後用相當於和式極限的方法得到正確結果，他求出了一個冪函數曲線下曲變形的面積。
費馬（1601-1665）
牛頓和萊布尼茨創立了微積分之後，幾何中的這些問題隨之迎刃而解。本節我們主要討論利用微元法思想求解幾何中不規則圖形的面積、曲線弧長的計算及旋轉體體積等問題。
利用定積分計算平面圖形面積
1、直角坐標系下面積的計算
（1）假設曲線 y=f(x) (x≥0)與直線 x=a, x=b及x 軸圍成的曲邊梯形的面積為A，則面積微元為 dA=f(x)dx.
曲邊梯形的面積可表示為f(x)在區間[a,b]上的積分
注 這種情況是最簡單的，有些圖形是有兩條或者多條曲線相交得到的，此時被積函數比上述表達式要複雜一些。
（2）下圖為兩條曲線圍成與直線 x=a, x=b圍成的圖形，
圍成圖形的面積可表示為
注在具體問題中要根據圖形中曲線間的關係選擇合適的積分變量，或者對函數方程進行處理從而簡化計算，下面將結合問題特點給出具體分析。
{!-- PGC_COLUMN --}例1 計算拋物線y=2x與直線y=x-4所圍成圖形的面積。
分析：對於這個問題，如果選擇x為積分變量，需要把積分圖形進行分割，計算起來比較麻煩，顯然對x 進行積分顯然不是最好的方法，因此不妨換個角度試試，選擇y為積分變量（如方法二）。
可見方法二要比方法一要簡單一些，那麼如何選取合適的積分變量呢？
首先，根據題中給的條件把曲線畫出來，從而能更直觀的觀察圍成圖形的形狀及曲線之間的關係；然後，根據圍成面積的曲線的關係選擇合適的積分變量：如果是上下關係選擇對x進行積分；如果是左右關係選擇對y進行積分（如方法二）。2）參數方程形式
平面直角坐標系下的有些圖形用參數方程來表示，如橢圓，如何利用定積分計算橢圓的面積呢？
例2求橢圓x/a+y/b=1所圍成圖形的面積。
解：利用對稱性，有dA=ydx，所以
利用橢圓的參數方程可以簡化計算，橢圓的參數方程為
用定積分的微元法可得
可以發現，當a=b=R時橢圓方程變為圓的方程，橢圓的面積為πR.
分析 橢圓方程有兩種表示形式，除了題目中給出的直角坐標系下的方程，還可以用參數方程來表示，本題選用橢圓的參數方程進行計算，過程更方便、簡潔。
2、極坐標系下面積的計算
假設 φ(θ)∈C[α, β]，且φ(θ)≥0，求曲線r=φ(θ)及射線θ=α, θ=β所圍成的曲邊扇形的面積。
曲邊扇形
在區間[α，β]上任取小區間[θ,θ+dθ]則對應該小區間上曲邊扇形面積的近似值為
dA=1/2[φ(θ)]dθ
所求曲邊扇形的面積為
分析計算極坐標系下曲邊扇形的面積與直角坐標下的思想是一致的，即「以常代變」，用扇形（半徑為常數）的面積近似代替曲邊扇形（半徑是變化的）。
例3 計算心形線 r=a(1+cosθ) (a>0) 所圍成圖形的面積。
心形線 是一個圓上的固定一點在它繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周滾動時所形成的軌跡，因其形狀像心形而得名。
下面的動圖可以直觀的觀察心形線是如何生成的，需要說明的是圖中的心形線是圓向左側滾動一周形成的，而題中給出的是動圓繞固定圓向右側滾動一周，但形狀是一樣的。關於心形線還有一個悲情又浪漫的愛情故事，大家可以在網上自行查找，沒想到數學還可以這麼浪漫吧！
左心形線 r=a(1-cosθ) (a>0)
下面給出利用定積分計算心形線面積的計算過程：
例4 計算心形線 r=a(1+cosθ) (a>0) 與圓 r=a 所圍成圖形的面積。
分析：首先畫出兩條曲線的圖像，可以看出兩條曲線相交圍成的圖形可分為兩部分，即圖中藍色區域和綠色區域，其中綠色區域正好是半徑為a的半圓，而藍色部分是關於x軸對稱的，因此利用對稱性可以給出圍成區域的面積的定積分表達式。
利用定積分計算平面曲線的弧長
曲線弧長顧名思義就是曲線的長度，但是由於曲線是彎曲的，而且不同的曲線彎曲方向和彎曲程度是不同的，因此沒有固定的公式計算曲線弧長。那麼如何利用定積分計算曲線弧長呢？
定義：若在弧AB上任意作內接折線，當折線段的最大邊長 λ→0 時，折線的長度趨近於一個確定的極限（常數），則稱這個極限為曲線弧AB的弧長，即
並稱此曲線弧為可求長的.
定理：任意光滑的曲線都是可求長度的。
（1）曲線曲弧由直角坐標方程 y=f(x) (a≤x≤b) 給出，弧微分可寫為
曲線弧長可表示為
注由於篇幅限制，這裡不再去推導直角坐標系下的弧微分公式，但其思想是「以直代曲」利用直角三角形的斜邊代替對應的弧長。
除了直角坐標系曲線弧長的計算，曲線還有兩種常見的形式，即參數方程形式和極坐標方程。
（2）曲線由參數方程給出
弧微分可表示為
曲線弧長可表示為
關於極坐標這裡不再給出推導公式，具體可參考高等數學書。
例5兩根電線桿之間的電線由於其本身的重量自然下垂，形成的曲線叫懸鏈線，懸鏈線的方程為 y=c ch(x/c) (-b≤x≤b) 求這一段弧長。
歷史上第一個研究懸鏈線的是著名的義大利達.芬奇，他在創作《抱銀貂的女人》這幅作品時，對女主人的項鍊自然下垂時的曲線產生興趣。
達.芬奇名畫《抱銀貂的女人》
伽利略認為懸鏈線是開口向上的拋物線，後來伯努利兄弟（約翰.伯努利和雅各布.伯努利）利用變分法解決了懸鏈線問題，具體資料可自行查找，這裡不再贅述。下面給出利用定積分計算懸連線的計算過程：
例6 計算擺線
一拱(0≤t≤2π) 的弧長。
擺線是一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經過的軌跡稱為擺線。如下面動圖所示：
下面給出利用定積分計算一個周期內擺線的弧長：
利用定積分計算已知平行截面面積函數的立體體積
設所給立體垂直於x軸的截面面積為A(x)，A(x) 在[a,b]上連續，則對應於小區間[x, x+dx]的體積微元為 dV=A(x)dx. 因此，所求立方體體積為
注這個問題的關鍵是找到合適的截面，這些截面必須是相互平行的，並且能夠利用已知條件把面積A(x)表示數來，然後就可以得到體積的微元，從而計算整個立體圖形體積。
旋轉體的體積是這類問題中比較常見的一種情況，這裡的旋轉體只考慮曲線繞著坐標軸旋轉。
當考慮連續曲線段 y=f(x) (a≤x≤b) 繞 x 軸旋轉一周所圍成的立方體體積為
當連續曲面段 x=φ(y) (c≤x≤d) 繞 y 軸旋轉一周圍成的立體體積有
例7計算由橢圓x/a+y/b=1所圍成的圖形繞 x 軸旋轉而成的橢球體的體積。
分析橢圓分為長軸和短軸，本題所給圖形是橢圓繞著 x 軸(a>b)旋轉，形成的旋轉體的形狀類似橄欖球。但如果橢圓繞著短軸 y 軸旋轉，形狀還是橄欖球形狀嗎？上課過程中很多學生弄混！答案是否定的！本題只給出繞 x 軸旋轉一周圍成體積的計算過程。
由結果可以看出：橢圓繞著 x 旋轉一周得到的橢球體的體積為4/3πab，不難猜出：如果橢圓繞 y 軸旋轉一周得到的橢球體的體積為4/3πab；當a=b=R時，橢圓變為圓，無論繞著哪個軸旋轉得到的都是球，球的體積為4/3πR.