長老弟子八千，聖賢七十二，優秀率千分之九，及格率百分之五十！
哎，慚愧呀…
無奈佛祖要求甚高，「及格率」就是長老心中的痛！
到底「天書」有多少奧秘？且聽長老細細道來。
弟子常常私下抱怨：一堆一堆，一坨一坨的傅立葉變換，麻麻呀，這是捅了傅立葉家的老巢了嗎？
長老無奈，現在這些孩子們的國學是武術師傅傳授的嗎？他們難道沒有拜讀《石頭記》嗎？這本曠世奇著中的芸芸嚶嚶們，錯綜複雜的關係讓英明神武的長老也著實頭疼，賈家的關係要比傅立葉家的龐大繁雜多了呀！
簡直就是一部精彩絕倫、外加魔幻的天書……
離散傅立葉變換，小名DFT，是傅立葉家的乾兒子，他的四位兄長是分別是：
大哥是連續時間傅立葉級數，小名FS，這位兄長負責處理時間連續並且具有周期性的信號，其頻域上離散，非周期。
二哥是連續時間傅立葉變換，小名CTFT，二哥因為人緣好大家對他的愛稱是FT，「國民二哥」負責處理時間連續但是不具有周期性的信號，其頻域上連續，非周期。
三哥是離散時間傅立葉變換，小名DTFT，就是天書第二章中的「男主」，（八卦一下「女主」是誰呢？當然是Z變換嘍！）主要負責處理時間離散但不具有周期性的信號，就是大家常說的「序列」，其頻域上連續，有周期性。
四哥是離散時間傅立葉級數，小名喚作DFS，是天書第二章中的「男配」，主要負責處理時間離散且具有周期性的信號，即大家常說的「周期序列」，其頻域上離散，有周期性。
傅家父母知道，因為這四個兒子都只是一屆凡人，不能升天，所以就偷偷收養了遺落在人間的小仙童DFT，然後…
「咳…就是說我們看到的四種傅立葉變換不具有可計算性，不能直接在計算機上使用。只有DFT時域和頻域都是有限長、離散的，具有可計算性。」
「上神在天書中說的清清楚楚、明明白白，你們為啥不看？」
長老繼續侃侃而談：
「熊孩子們，你們想過沒有，傅家何德何能可以收養一個小仙童？」
要解釋這件事，就必須要提一提，什麼樣子的人可以飛天以及這位小童DFT與傅立葉家幾位哥哥的關係。
問：「什麼樣的信號計算機可以處理或者機器的局限性在哪呢？」
答：計算機不能表達一個無限長的序列，同時也不能表達連續的時頻域特徵。對於一般的離散時間信號即序列來說，我們可以直接用DTFT分析信號的頻域特徵，但計算機是用不了的。因此我們才需要DFT，也就是說DTFT是給人用的，而DFT是給計算機用的。
「天書」中研究的對象是離散時間信號即序列，所以前兩種連續時間的傅立葉變換是不適用的。另外，天書的一個要點就是討論對數位訊號的處理方式和算法設計，這裡所說的處理方式不僅僅是人工的、解析的處理方式，更是計算機能用的處理方式。那麼DFT與DTFT、DFS有什麼關係呢？
DTFT（序列的傅立葉變換），時域上是離散非周期序列，在頻域上是連續、周期譜，這連續的頻域特徵機器是無法表達的，因此需要對其進行離散化。又由於DTFT頻域的周期性，只需要對其「二派」區間上做N點等間隔採樣即可得到DFT。
DFS（序列的傅立葉級數），時域上是離散且周期的序列，在頻域上是周期且離散的譜，這種無限長的特徵機器還是無法表達，因此需要對其進行截斷。因此對DFS時頻域各取主值區間就得到了DFT。
另外，DTFT還有一個閨蜜就是序列的Z變換，DFT就是在Z變換單位圓上的N點等間隔採樣。
開飯了！
傅爺他們家的事兒就先說到這吧，散會！
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