魔方可以六面還原的數學原理【1459期】

2021-02-19 魔方教學

魔方的轉動是指將魔方某個面上的所有塊順時針(面對該面)旋轉 90°。相應的,若是逆時針旋轉則稱為逆轉動。為了記錄下轉亂、復原的過程,習慣上採用由 David Singmaster 發明的符號來書寫。以英文 Up(上)、Down(下)、Front (前)、Back(後)、Left(左)、Right(右)的第一個字母分別表示魔 方的上、下、前、後、左、右六個面的轉動;用小寫字母 u、 d、 f、 b、 l、 r 表示各面及相應的中心塊;用 xy 來表示位於 x 面 y 位置的 稜塊小面,如 uf 表示 u(上)面 f(前)位置的小面;用 xyz 表示位 於 x 面 yz 位置的角塊小面,如 ufr 表示位於示 u(上)面 fr(前 右)位置的小面。 

在對魔方任意一個面進行轉動的時候,該面所在層的中心 塊不會改變,其餘 20 個小面的位置隨之發生改變,這樣的轉動 可以用一系列小面的置換來表示:U=(ulb ubr urf ufl )(ub ur uf ul)(bul rub fur luf)(bu ru fu lu)(bru rfu flu lbu) D=(dbl dlf dfr drb)(db dl df dr)(bld lfd frd rbd)(bd ld fd rd)(bdr ldb fdl rdf) F=(flu fur frd fdl)(fu fr fd fl)(ufl rfu dfr lfd)(uf rf df lf )(urf rdf dlf luf) B=(bul bld bdr bru)(bu bl bd br)(ulb ldb drb rub)(ub lb db rb)(ubr lbu dbl rbd) L=(luf lfd ldb lbu)(lu lf ld lb)(ufl fdl dbl bul)(ul fl dl bl)(ulb flu dlf bld) R=(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf)(urf bru drb frd)(ur br dr fr)(ubr bdr dfr fur) 

設 G= U, D, F, B, L, R 是魔方所有轉動生成的集合,可以 證明該集合以合成作為運算構成一個群,稱為魔方群。它是上 述一系列小面的置換作為生成元的一個循環群。G 中的元素代表了所有置換的情形,魔方變換的所有狀態 都能夠找到與之相應的元素,魔方從還原狀態經過一系列變化 再次還原,實現了一次循環,實際也是 G 中的元素經過周期性 的操作能夠實現的,從中可以看到魔方還原與循環群的共性。


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