#初中數學學習#
01溫馨提示
因網頁不支持數學公式，敬請您留意圖片。
本人是一名數學教師，也是一名公益志願者。
如果我的付出，對你或你的親友有所幫助，期待你
（1）關注我！
想了解更多精彩內容，快來關注同心圓數學世界
（2）在評論區留言支持！
（3）把這份資料轉發給需要它的同學！
（4）你自己（親友）能收藏用上這份資料！
（5）在本文之前和之後，已發布大量的相關複習資料，歡迎查閱使用。
02單元分析
矩形的定義：
有一個角是直角的平行四邊形。
矩形的性質：
因為矩形是平行四邊形，所以所有平行四邊形具有的性質，矩形也具有。
但矩形又是「有一個角是直角」的平行四邊形，所以它又具有一些特殊性質：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等（且互相平分）；矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，分別是每一組對邊中心連線所在的直線，（矩形與平行四邊形一樣，也是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點）。
根據矩形的性質，我們很容易得到一個派生性質：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
矩形的判定：
有一個角是直角的平行四邊形是矩形（定義判定法）；有三個內角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形；對角線相等且互相平分的四邊形是矩形。
與矩形有關的計算公式：矩形的面積=長×寬；矩形的周長=2（長+寬）；矩形的外接圓半徑=矩形對角線的一半[（長的平方+寬的平方）的算術平方根/2]。
考點概要：
本單元對矩形的考查多是結合其他知識進行，獨立考查的相對較少。比如第1題，將問題與「將軍飲馬問題」結合起來，模型可知，此時△ADE的周長最小，分別考查了坐標系內點的坐標特徵、軸對稱﹣最短路線問題，關於軸對稱應用確定距離和最短的問題。除此之外還有利用軸對稱求距離差最大，角形區域內求距離和最短。
而第3題則對作圖﹣基本作圖進行了考查，涉及到的知識點有：熟練掌握基本作圖（作一條線段等於已知線段；作一個角等於已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了矩形的性質和等腰三角形的性質。
第9題則從矩形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質等方面進行了知識考查，熟記各性質並仔細分析題目條件，根據相等的度數求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關鍵，也是解決與矩形有關的問題的難點。
結合矩形的性質、全等三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、平行線的性質、三角形面積公式等知識對考生進行考查，也是本單元中常見的考法之一，比如第14題。只要大家熟練掌握矩形的性質和含30°角的直角三角形的性質，然後選擇合適的三角形證明全等是解題的關鍵。
現在，請大家帶著一顆自我學習，和提高自己中考成績的目標，走進矩形的世界吧！
03中考真題精選
04參考答案
一、選擇題
1. 思路分析作A關於y軸的對稱點A′，連接A′D交y軸於E，根據「將軍飲馬問題」模型可知，此時△ADE的周長最小，點評本題考查了坐標系內點的坐標特徵、軸對稱﹣最短路線問題，關於軸對稱應用確定距離和最短的問題，如圖直線l同側有兩點A、B，在直線l上找點P，使得PA+PB最短，並簡要說明理由。解：作點關於直線l的對稱點A′，連A′B交直線l於點P,則點P即為所求，此時PA+PB=PA′+PB= A′B。除此之外還有利用軸對稱求距離差最大，角形區域內求距離和最短。
2. 分析先利用互餘計算出∠FDB=28°，再根據平行線的性質得∠CBD=∠FDB=28°，接著根據摺疊的性質得∠FBD=∠CBD=28°，然後利用三角形外角性質計算∠DFE的度數．
3. 分析利用矩形的性質得到AE＝CE，則OE為等腰三角形底邊上的中線，利用等腰三角形的性質可得到射線OE平分∠MON．點評本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等於已知線段；作一個角等於已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了矩形的性質和等腰三角形的性質．
4. 分析矩形的對角線互相平分且相等，而平行四邊形的對角線互相平分，不一定相等．解答解：矩形的對角線相等，而平行四邊形的對角線不一定相等．點評本題考查矩形的性質，矩形具有平行四邊形的性質，又具有自己的特性，要注意運用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質．如，矩形的對角線相等．
5. 分析由平行四邊形的性質可知：OA＝OC，OB＝OD，再證明OM＝ON即可證明四邊形AMCN是平行四邊形．點評本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
6. 分析利用矩形的性質分別判斷後即可確定正確的選項．解答解：矩形的對角線相等，正確，是真命題；、矩形的對角線的交點到四個頂點的距離相等，正確，是真命題；、矩形的對角線互相平分，正確，是真命題；、矩形的對角線的交點到一組對邊的距離相等，故錯誤，是假命題，點評本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解矩形的性質，難度不大．
7. 分析連接CE，由矩形的性質得出∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，由線段垂直平分線的性質得出AE＝CE，設DE＝x，則CE＝AE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．點評本題考查了矩形的性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理；熟練掌握矩形的性質，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．
8. 分析直接利用特殊四邊形的性質與判定方法分別分析得出答案．點評此題主要考查了特殊四邊形的性質與判定方法，正確掌握相關性質是解題關鍵．
二、填空題
9. 分析：根據矩形的性質得到AD=BC=AB=，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=CD，得到等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，得到①正確；設DH=1，則AH=DH=1，AD=DE=，求出HE=，得到2HE=≠1，故②錯誤；通過角的度數求出△AOH和△OEH是等腰三角形，從而得到③正確；由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，於是得到BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB=AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，從而得到④錯誤．
點評：本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質，熟記各性質並仔細分析題目條件，根據相等的度數求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．
10. 分析首先由S△PAB=S矩形ABCD，得出動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，作A關於直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．然後在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
11. 分析根據中位線的性質求出長度，再依據矩形的性質進行求解問題．點評本題主要考查了矩形的性質以及三角形中位線的定理，解題的關鍵是找到線段間的倍分關係．
12. 分析由矩形的性質可得，可證，可得，由勾股定理可求的長．點評本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，熟練運用矩形的性質是本題的關鍵．
三、解答題
13. 分析（1）根據四邊形的性質得到，求得．根據全等三角形的判定定理得到結論；（2）連接，交於點．根據全等三角形的性質得到，，於是得到結論．點評本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練正確全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
14. 分析（1）由AAS證明△ABE≌△CDF，即可得出結論；（2）由平行線的性質得出∠CBD＝∠ADB＝30°，由直角三角形的性質得出BE＝AB，AE＝AD，得出△ABE的面積＝AB×AD＝矩形ABCD的面積，由全等三角形的性質得出△CDF的面積═矩形ABCD的面積；作EG⊥BC於G，由直角三角形的性質得出EG＝BE＝×AB＝AB，得出△BCE的面積＝矩形ABCD的面積，同理：△ADF的面積＝矩形ABCD的面積．
點評本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、平行線的性質、三角形面積公式等知識；熟練掌握矩形的性質和含30°角的直角三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
15. 分析（1）根據菱形的性質得到CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，求得CF＝AE＝4﹣＝，根據勾股定理得到AF＝CE＝＝，於是得到結論；（2）過F作FH⊥AB於H，得到四邊形AHFD是矩形，根據矩形的性質得到AH＝DF＝，FH＝AD＝2，根據勾股定理即可得到結論．點評本題考查了矩形的性質，菱形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．
16. 分析（1）根據矩形的性質得到，由垂直的定義得到，根據餘角的性質得到，根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；（2）由已知條件得到，由，根據三角函數的定義即可得到結論．點評本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，三角函數的定義，正確的識別圖形是解題的關鍵．
17. 分析（1）根據平行四邊形的判定定理得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據三角形的外角的性質得到∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，求得∠DAO＝∠ADO，推出AC＝BD，於是得到四邊形ABCD是矩形；（2）根據矩形的性質得到AB∥CD，根據平行線的性質得到∠ABO＝∠CDO，根據三角形的內角得到∠ABO＝54°，於是得到結論．點評本題考查了矩形的判定和性質，三角形的內角和，正確的理解題意是解題的關鍵．
18. 分析根據SAS即可證明△ABE≌△CDF可得AE＝CF．點評本題考查矩形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬於中考常考題型．
19. 分析（1）根據線段的垂直平分線的作圖解答即可；（2）利用含30°的直角三角形的性質解答即可．點評此題考查基本作圖問題，關鍵是根據線段的垂直平分線的作圖和性質解答．
20. 證明：（1）如圖②，∵由題意知，AD=GD，ED=CD，∠ADC=∠GDE=90°，∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE，即∠ADE=∠GDC，在△AED與△GCD中,∴△AED≌△GCD（SAS）.
21. 考點矩形的判定與性質；全等三角形的判定與性質．分析（1）由矩形的性質得出對邊平行，再根據平行線的性質得出相等的角，結合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性質找出∠D=∠B=90°，再結合對邊互相平行即可證出四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形，通過角的正切值，在直角三角形中表示出直角邊的關係，利用矩形的面積公式即可得出兩矩形面積相等．
22. 分析（1）根據全等三角形的判定定理證得結論；（2）由（1）中全等三角形的性質得到：，同理可得，即可得四邊形是平行四邊形；（3）由 軸對稱最短路徑問題得到：四邊形的周長一半大於或等於矩形一條對角線長度．點評考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質．靈活運用這些性質進行推理證明是本題的關鍵．