數學佬曾經在《一臺鋼琴的科普》中描述過傅立葉變換，其本質蠻容易理解，就是將一個周期函數用若干個三角函數來模擬。公式如下
有朋友說，那個科普不錯啦，但是對於這個公式似乎沒啥幫助。畢竟我們不能拿一架鋼琴來分解，而且不少函數也根本沒有相應的鋼琴。
好吧，這一次我們學術點，用數學來推導一下公式。
本文難度很大，對數學推導不感興趣的朋友請拉到最後，點一個「在看」走吧。
延伸閱讀：MP3的數學原理
首先我們來求第一個係數
將公式兩邊同時求積分，一個周期就好。
一個一個積分來考慮哈。
因為三角函數都是周期函數，T是它們的周期，不一定最小正周期，不過不重要。
所以
第一項很簡單
帶回去得
由於f(x)是已知函數，所以，a0也就求出來了。
（至於你求不求得出來，數學家不管哈）
接下來求a1
將公式兩邊同時乘cos
再兩邊取積分，也是一個周期就好
還是老辦法，一個一個積分來分析。
由周期性得第一項
後面的項比較麻煩，回憶一下三角函數公式。
類似可得
（你能類似推導嗎？還是用三角函數啦）
帶回計算得
還是一樣，因為f(x)是已知函數，所以a1也就求出來了。
如此，我們就得到了傅立葉變換的全部公式
至於理工科同學們掉頭髮的問題：積分怎麼求，數學家可不管。數學家傅立葉說，這個變換是有解的，怎麼解不關我事。
於是物理系同學也就祭出他們強大的工具：近似和誤差。
例如MP3音樂說，我就展開5項就好了，誰讓這個積分那麼難算呢！其他項啊……誤差吧，哈哈哈哈。
於是結果就是，MP3音樂真的文件好小，畢竟數位化的優點之一就是大容量，精煉嘛，缺點嘛，就是有一點點失真，畢竟只算了5項，後面的都作為誤差捨去了哦。
你想要高保真的音樂，也不是不行，文件體積也就隨之增大不少，對播放器的速度要求也高了，一句話，有錢就能搞。
學過高中數學的同學就有可能知道，傅立葉這個變換的手法，其實泰勒就用過，不過泰勒是兩邊無窮次求導，而傅立葉是兩邊無窮次求積分。
數學就這麼簡單哈。（別打我）
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