1、試作下列函數的圖象：
(1)y=x^2+1；(2)y=(x+1)^2；(3)y=1-(x+1)^2；(4)y=sgn(sinx)；
解：如圖：
2、試比較函數y=a^x與y=logax分別當a=2和a=1/2時的圖像。
解：如圖，當a=2時，y=a^x單調遞增；當a=1/2時，y=a^x單調遞減。
當x>0時，(1/2)^x<2^x；
當x=0時，(1/2)^x=2^x=1，即函數圖象都過點(0,1)；
當x<0時，(1/2)^x>2^x.
對任意x∈R，函數值都大於0，∴它們的圖像都在x軸的上方，關於y軸對稱。
y=logax是y=a^x的反函數，它們的圖象關於直線y=x對稱，增減性相同。
當0<x<1時，log1/2 x>log2 x；
當x=1時，log1/2 x=log2 x=0，即函數圖象都過點(1,0)；
當x>1時，log1/2 x<log2 x.
由於x≤0時，函數無定義，∴它們的圖象在y軸的右方，關於x軸對稱.
3、如圖，寫出定義在[0,1]上的分段函數f1(x)和f2(x)的解析式。
解：如圖，當0≤x≤1/2時，f1(x)=4x；當1/2<x≤1時，f1(x)= -4x+4.
當0≤x≤1/4時，f2(x)=16x；當1/4<x≤1/2時，f2(x)= -16x+8；當1/2<x≤1時，f2(x)=0.
4、確定下列初等函數的存在域：
(1)y=sin(sinx)；(2)y=lg(lgx)；(3)y=arcsin(lg(x/10))；(4)y=lg(arcsin(x/10))
解：(1)∵sinx 的存在域為x∈R，∴y=sin(sinx)的存在域為x∈R.
(2)∵lgx的存在域為x∈(0, +∞)，∴lgx>0，∴x>1. ∴y=lg(lgx)的存在域為x∈(1, +∞).
(3)∵arcsinx的存在域為x∈[-1, +1]，∴-1≤lg(x/10)≤1，即1/10≤x/10≤10，∴1≤x≤100; ∴y=arcsin(lg(x/10))的存在域為x∈[1,100].
(4) ∵lgx的存在域為x∈(0, +∞)，∴arcsin(x/10)>0，∴0<x/10≤1，即0<x≤10；
∴y=lg(arcsin(x/10))的存在域為x∈(0,10].
5、設函數
求:(1)f(-3),f(0),f(1)；(2)f(△x)-f(0),f(-△x)-f(0) (△x>0)
解：(1) f(-3)=2+(-3)= -1; f(0)=2+0=2; f(1)=2^1=2.
(2)∵△x>0, ∴f(△x)-f(0)=2^△x-2; f(-△x)-f(0)=2+(-△x)-2=-△x.
6、設函數f(x)=1/(1+x)
求：f(2+x),f(2x),f(x^2),f(f(x)),f(1/f(x)).
解：f(2+x)=1/(1+2+x)=1/(3x+x)；f(2x)=1/(1+2x)；f(x2)=1/(1+x^2)；f(f(x))=1/[1+1/(1+x)]=(1+x)/(2+x)；f(1/f(x))=1/(1+1+x)=1/(2+x).
7、試問下列函數是由哪些基本初等函數複合而成：
(1)y=(1+x)^20; (2)y=(arcsinx^2)^2; (3)y=lg(1+根號(1+x^2)); (4)y=2^[(sinx)^2]
解：(1)y=u^20, u=v1+v2, v1=1, v2=x；(2)y=u^2, u=arcsinv, v=x^2；
(3)y=lgu, u=(u1+u2), u1=1, u2=根號v, v=u1+w, w=x^2；(4)y=2^u, u=v^2, v=sinx.
8、在什麼條件下，函數y=(ax+b)/(cx+d)的反函數就是它本身？
解：y=(ax+b)/(cx+d)的反函數為：y=(b-dx)/(cx-a).
當a+d=0時，(ax+b)/(cx+d)=(b-dx)/(cx-a).
∴當a和d互為相反數時，函數y=(ax+b)/(cx+d)的反函數就是它本身.
9、試作函數y=arcsin(sinx)的圖象.
解：如圖，其周期為2π，值域為[-π/2,π/2]
10、試問下列等式是否成立：
(1)tan(arctanx)=x, x∈R；
(2)arctan(tanx)=x, x≠k+π/2，k=0,±1,…
解：(1)∵arctanx的值域為[-π/2,π/2]，∴(1)式成立.
(2)∵tanx在[-π/2,π/2]外有定義域，而arctan(tanx)的值域為[-π/2,π/2]，∴(2)式不成立.
11、試問y=|x|是初等函數嗎？
解：y=|x|=根號(x^2)=根號u; u=x^2; 可見y=|x|是由基本初等函數有限次複合而成的函數，
∴y=|x|是初等函數.
12、證明關於函數y=[x]的如下不等式：
(1)當x>0時，1-x<x[1/x]≤1；(2)當x<0時，1≤x[1/x]<1-x.
證：1<[1/x]≤1/x，即(1-x)/x<[1/x]≤1/x；
(1)當x>0時，1-x<x[1/x]≤1. (2)當x<0時，1≤x[1/x]<1-x.