【三角形的外角】相關知識點
三角形的一條邊的延長線和另一條相鄰的邊組成的角，叫做三角形的外角。
三角形的外角特徵：①頂點在三角形的一個頂點上，如∠ACD的頂點C是△ABC的一個頂點；②一條邊是三角形的一邊，如∠ACD的一條邊AC正好是△ABC的一條邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長線如∠ACD的邊CD是△ABC的BC邊的延長線。
性質：①.三角形的外角與它相鄰的內角互補。②三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。③三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。④三角形的外角和等於360°。
設三角形ABC 則三個外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。定理：三角形的一個外角等於不相鄰的兩個內角和。定理：三角形的三個內角和為180度。
【三角形的外角】例題解析
1．下列說法錯誤的是（ ）
A．有一個外角是銳角的三角形是鈍角三角形
B．有兩個角互餘的三角形是直角三角形
C．直角三角形只有一條高
D．任何一個三角形中，最大角不小於60度
選C
【點評】本題考查了鈍角三角形、直角三角形的概念．注意D中，如果最大角小於60°，則三個角的和就小於180°，與三角形的內角和定理，內角和為180°相矛盾．
2．如圖，△ABC中，∠B=∠DAC，則∠BAC和∠ADC的關係是（ ）
A．∠BAC＜∠ADCB．∠BAC=∠ADCC．∠BAC＞∠ADCD．不能確定
【考點】三角形的外角性質．
【分析】根據三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ADC=∠B+∠BAD，再根據∠BAC=∠BAD+∠DAC即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性質，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠B=∠DAC，
∴∠BAC=∠ADC．
故選B．
【點評】本題主要考查了三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質並準確識圖是解題的關鍵．
3．三角形的一個外角與它相鄰的內角相等，而且等於與它不相鄰的兩個內角中的一個角的3倍．則這個三角形各角的度數是（ ）
A．45°，45°，90°B．36°，72°，72°C．25°，21°，134°D．30°，60°，90°
【考點】三角形的外角性質．
【分析】根據三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和與三角形的內角和等於180°可以求出與這個外角相鄰的內角等於90°，然後根據這個外角等於與它不相鄰的兩個內角中的一個角的3倍，求出這個內角即可．
【解答】解：根據題意，與這個外角相鄰的內角等於180°÷2=90°，
∵這個外角等於與它不相鄰的兩個內角中的一個角的3倍，
∴90°÷3=30°，
∴90°﹣30°=60°，
∴這個三角形各角的度數是：30°，60°，90°．
故選D．
【點評】本題主要考查三角形的外角性質和三角形的內角和定理，熟練掌握性質和定理是解題的關鍵．
4．如圖所示，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，則∠BDC的度數為（ ）
2·1·c··j·y
A．60°B．70°C．80°D．85°
【考點】三角形的外角性質；餘角和補角；三角形內角和定理．
【分析】先根據三角形內角和等於180°求出∠3+∠4的度數，再根據三角形的內角和等於180°即可求出∠BDC的度數
【解答】解：∵∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，
∴∠3+∠4=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠A=180°﹣20°﹣25°﹣35°=100°，
在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠3﹣∠4=180°﹣100°=80°．
故選C．
【點評】本題三角形的內角和等於180°求解，是基礎題，準確識別圖形是解題的關鍵．
5．如圖，點D、B、C在同一條直線上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．則∠1=（ ）
A．60°B．50°C．45°D．25°
【考點】三角形的外角性質；三角形內角和定理．
【分析】先根據三角形外角的性質求出∠ABD的度數，再由三角形內角和定理即可得出結論．
【解答】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，
在△BDE中，
∵∠D=25°，∠ABD=110°，
∴∠1=180°﹣25°﹣110°=45°．
故選C．
【點評】本題考查的是三角形外角的性質，熟知三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和是解答此題的關鍵．
6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，將其摺疊，使點A落在邊CB上A′處，摺痕為CD，則∠A′DB=（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°
【考點】直角三角形的性質；三角形的外角性質；翻折變換（摺疊問題）【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB與∠A的度數，利用三角形的內角和定理求出∠B的度數，再由摺疊的性質得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D為三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性質即可求出∠A′DB的度數．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，
∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，
由摺疊可得：∠CA′D=∠A=55°，
又∵∠CA′D為△A′BD的外角，
∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，
則∠A′DB=55°﹣35°=20°．
故選：C．
【點評】此題考查了直角三角形的性質，三角形的外角性質，以及摺疊的性質，熟練掌握性質是解本題的關鍵．
7．如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，則∠A+∠P=（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【考點】三角形的外角性質；三角形內角和定理．
【分析】根據角平分線的定義以及一個三角形的外角等於與它不相鄰的兩個內角和，可求出∠A的度數，根據補角的定義求出∠ACB的度數，根據三角形的內角和即可求出∠P的度數，即可求出結果．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，
∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°，
∠ACB=180°﹣∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠BPC=20°，
∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°，
故選C．
【點評】本題考查了角平分線的定義，一個三角形的外角等於與它不相鄰的兩個內角和以及補角的定義以及三角形的內角和為180°，難度適中．
8．直角三角形的一銳角為60°，則另一銳角為30°．
【考點】直角三角形的性質．
【分析】根據直角三角形兩銳角互餘列式計算即可得解．
【解答】解：∵直角三角形的一銳角為60°，
∴另一銳角為90°﹣60°=30°．
故答案為：30°．
【點評】本題考查了直角三角形的性質，熟記直角三角形兩銳角互餘是解題的關鍵．
9．直角三角形中兩個銳角的差為20°，則兩個銳角的度數分別是55°、35°．
【考點】直角三角形的性質．
【分析】設一個銳角為x，根據題意表示出另一個銳角，根據直角三角形的性質列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：設一個銳角為x，則另一個銳角為x﹣20°，
則x+x﹣20°=90°，
解得，x=55°，
x﹣20°=35°
故答案為：55°、35°．
【點評】本題考查的是直角三角形的性質，掌握直角三角形的兩個銳角互餘是解題的關鍵，注意方程思想的正確運用．
10．如圖，△ABC中，∠A=50°，∠ABO=18°，∠ACO=32°，則∠BOC=100°．
【考點】三角形的外角性質．
【分析】延長BO與AC相交於點D，然後根據三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解．
【解答】解：如圖，延長BO與AC相交於點D，
由三角形的外角性質，在△ABD中，∠1=∠A+∠ABO=50°+18°=68°，
在△COD中，∠BOC=∠1+∠ACO=68°+32°=100°．
故答案為：100°．
【點評】本題考查了三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質並作輔助線構造成三角形是解題的關鍵．
11．（2015春•保山校級期中）如圖，已知△ABC為直角三角形，∠B=90°，若沿圖中虛線剪去∠B，則∠1+∠2等於270度．
【考點】三角形的外角性質．
【分析】如圖，根據題意可知∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，然後結合三角形內角和定理即可推出∠1+∠2的度數．
【解答】解：∵△ABC為直角三角形，∠B=90，
∴∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，
∴∠1+∠2=270°．
故答案為：270．
【點評】本題主要考查三角形的外角性質、三角形內角和定理，關鍵在於求證∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN．
12．（2015秋•蕭山區月考）如圖，AC與BD相交於點O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56』，那麼∠BOC為81°8′．
【點評】此題主要考查了三角形外角的性質，關鍵是掌握三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和．