《數學地圖》，是量子雜誌Quanta Magazine的一個（可視化）項目，2020-2-13上線。
文字：Kevin Hartnett
設計和可視化：Kim Albrecht和Jonas Parnow
譯者：zzllrr小樂 2020-10-28 於微信公眾號與百家號同步發布
譯者註：原文有大量可視化交互效果，因各平臺限制，只能暫以截圖形式展示，但圖片中文字內容也儘可能被漢化，以饗讀者。另外原文介紹有些數學概念時無圖，譯者補上自製圖，以便讀者理解。由於圖文篇幅較長，分成【1】【2】兩篇文章，本文是第【2】篇。
（接上文）
孔洞計數
球面在拓撲上與圓環完全不同，這恰好是因為圓環有一個孔，而球形沒有孔。但是，如何計算表面上的孔數並不總是很明顯。同調理論是一種在數學上精確且一致的方法。
數學家通過使用「圓圈」來識別孔洞，「圓圈」是在形狀表面繪製的高維環路（迴路）類似物。特別是，他們尋找沒有任何「邊界」的圓圈。例如，如果您在圓環的表面上繪製一個隨機環路，則該圓圈可能會用作包含在其中的圓盤的邊界。但是，兩個迴路並不是任何事物的邊界：一個是圍繞孔的內部邊緣的迴路，另一個是垂直於該孔的迴路。您可以對高維空間重複相同的過程。
數學家使用無邊界的迴路數來計算空間的同調群。數學家已經開發出許多用於處理同調群的複雜技術，包括一個稱為同調代數的強大工具包，該工具包在當代研究的許多領域中都發揮著作用。
空間之間的映射
地球是一個球體。 但是地圖是平坦的。 這兩個形狀在拓撲上是不等價的。 製圖者應如何將地球上的點轉換為一張平紙上的點？
同倫理論是數學的一個分支，涉及在空間之間創建映射，然後對這些映射進行分類。 從一個固定的流形到另一個固定的流形，在所有可能的映射中表徵同構性是非常困難的-即使對於簡單空間（例如球體）中的映射，它也遙不可及，而這一中心特例的進展是同倫理論發展的標準。
3D結
2003年，格裡戈裡·佩雷爾曼（Grigori Perelman）解決了一個著名的問題，即龐加萊猜想，在此過程中，他對三維流形做了完整的描述。
與重要數學問題的解決一樣，Perelman的成就提供了後來用於解決其他問題的新技術。此外，關於三維流形的許多看似無望解決的其他問題，現在可以被有效地解決。一種是研究可在三維空間中找到的結（或環路）的類型。這些結的研究是低維拓撲最活躍的領域之一。
在四維上，所謂的「光滑」流形具有額外的結構，使拓撲學家可以使用微積分的方法對其進行研究。二維拓撲中最基本的問題之一是如何將某些光滑流形與一個二維球體進行比較。這個問題稱為光滑的四維龐加萊猜想，是拓撲學中最突出的開放問題。
物理空間
在數學中，「空間」是具有整體幾何或拓撲結構的點的任何集合。拓撲的一個領域涉及描述物理系統的點的集合。
想像一下衛星以固定高度繞地球移動。它在任何給定地點的位置都可以通過兩個坐標來描述-它的緯度和經度。衛星的速度可以通過矢量（向量）來描述。矢量是一個數學箭頭，它指向衛星的運動方向，並隨著衛星運行的加快而變大。
在衛星軌道上的給定點上，所有可能描述衛星運動的矢量形成一個二維平面，該平面在可能位置的球面上保持平衡，並在衛星所在點的位置精確地與該平面相切。該球面上的每個點都存在這樣一個平面。所有這些二維平面的集合形成了衛星的「相空間」。
在數學上，對這些相空間的研究演變成對類似物體的研究，稱為「辛流形」。現在，它已成為拓撲中最活躍的領域之一。
軌道與流
辛流形來自物理學，但是很快變得很清楚，這些空間中的許多都與物理世界無關。
辛流形研究中的一個重要問題是Arnold阿諾德猜想，該問題詢問了此類空間中「封閉軌道」的數量。 當辛流形由特定流（稱為哈密頓流）變換時，這些點將返回到自身。 阿諾德推測這些特殊的流動比一般的拓撲流動具有更多的封閉軌道。 這個猜想突出了辛流形的最重要特徵：它們比典型的光滑流形具有更剛性的幾何結構。 使用一組稱為Floer同調的工具和稱為偽全純曲線的數學對象證明了Arnold猜想的某些情況。
空間的空間
一般來說，從數學意義上講，「空間」是指具有幾何或拓撲結構的任何點集，例如球體或圓環。除了這些空間外，還有更多奇特的空間，您可以將其視為「空間的空間」。舉一個非常簡單的例子，首先假設您有一個三角形-這是一個空間。現在想像所有可能的三角形的空間。這個較大空間中的每個點代表一個特定的三角形，該點的坐標由它代表的三角形的角度給出。
空間的空間稱為"模空間"。它們是一種把許多不同但相關的對象收集在一個地方的簡便方法，以便於分析。就像可能存在三角形的模空間一樣，也存在偽全純曲線的模空間-這些對象在辛流形的研究中很重要。但是偽全純曲線的模空間經常變得粗糙且糟糕地形成，這使得它們很難研究。找出使這些空間光滑的一般方法是辛幾何中的主要任務。
鏡面對稱
辛幾何中另一種當前主要的推力是從物理學中引入的稱為鏡像對稱的概念。物理世界具有四個明顯的時空維度。同時，弦理論家認為宇宙是10維的。額外的六個維度在哪裡？理論家認為它們採用的是所謂的六維卡拉比-丘Calabi-Yau流形形式。
對Calabi-Yau流形的數學興趣是根據一個稱為同調鏡像對稱猜想的問題來描述的。這表明具有特殊類型復結構的Calabi-Yau流形將具有與「辛」結構相同的特性。從表面上看，沒有理由認為復結構與辛結構有任何關係（這種聯繫確實使數學家在1990年代初首次發現時感到迷惑）。但是，這種鏡像使數學家可以使用辛幾何中的技術來回答覆幾何中的問題，反之亦然-本質上，使他們可以應用於每個領域中的問題的技術範圍加倍。鏡像對稱性是當前研究的一個非常活躍的領域，因為數學家試圖證明這種意想不到的對應關係的其他特徵，並將其擴展到更大範圍的空間。
對稱
當某種形狀的一側在某種意義上與另一側相同時（例如在蝴蝶的相配對的翅膀中），我們認為該形狀是對稱的。 在數學中，對稱具有更精確的含義-如果對象在剛性運動或相關類型的轉換後保持不變，則被認為是對稱的。 考慮一個具有三種基本對稱性的正方形：
平移對稱性，這意味著您可以在不旋轉的情況下移動圖案，並返回原始圖案。旋轉對稱，這意味著您可以以90度為增量旋轉正方形。反射對稱，這意味著您可以在一條軸線上反射圖案。
對象的對稱性為其本質提供了線索（通常是有力的線索）。 對稱性的研究不僅在諸如拓撲和幾何學之類的視覺學科中非常重要，而且在數學的其他領域也很重要。
群論
一個群是一組操作，其中包含有關如何將這些操作結合在一起的精確描述。考慮正方形的對稱群。您可以為正方形做很多事情。將其旋轉0、90、180或270度。從上至下，從左至右或對角線反射它。這些操作組合形成具有某些規則的群：
如果將正方形旋轉0度，則什麼也不會發生。這稱為群的恆等操作-它使基礎對象保持不變。
應用任何對稱性，然後再應用另一個對稱性，都會在群中產生第三個對稱性。例如，將正方形旋轉90度然後再旋轉180度與將其旋轉270度相同。
群中的每個運算都有一個逆運算。例如，將正方形旋轉90度的逆過程就是將正方形旋轉270度，因為當您一個接一個地執行另一個操作時，您將獲得正方形的原始位置。
根據一個經典定理，只有17個不同的對稱群可以重複平面圖案-並且所有17個對稱群都在古代壁畫和掛毯中找到。更一般而言，（轉換的）群可以與許多不同種類的對象相關聯。數學家使用在此類群中找到的附加結構來更好地理解基礎對象（情況要比正方形和圓形複雜得多）。
連續對稱
壁畫中的對稱性是離散的-可以計數。 還有其他類型的對稱是連續的，這意味著它們可以循環顯示值而不會跳過任何內容。 連續對稱的最簡單示例是圓的旋轉對稱-您可以將其旋轉任意角度。
連續的對稱形成所謂的「李群」，以挪威數學家Sophus Lie的名字命名。 李群出現在四個無限的家族以及五個「例外」情況下，它們的名字分別為E6，E7，E8，F4和G2。
新型對稱
以純粹的理論方式發現了一些對稱性-研究李群的數學家意識到，某些對稱性是可能的，甚至在他們實際發現具有這些對稱性的幾何對象之前也是如此。這種情況有點類似於物理學中的數學公式可以在物理學家實際觀察到它們之前就預測某些種類粒子的存在。
流形幾何學中所謂的G2對稱性最早是在1960年代發現的，但是直到20年後，數學家才發現實際上表現出這種對稱性的流形例子。如今，他們仍在嘗試構造更多具有G2對稱性的流形示例，同時還研究其附帶的特性。 G2流形的工作可反饋到物理學中，其中流形用於「壓縮」超弦理論中出現的11維流形，這一過程將其簡化為四維流形。
變化
現代的變化研究始於17世紀，當時英國的牛頓Isaac Newton和德國的萊布尼茲Gottfried Leibnitz發展了微積分工具。 在此之前的數學主要是研究形狀和簡單方程。 但是隨著微積分的出現，數學家可以分析描述時間變化的方程式-從行星的舞蹈到黃蜂的演變。 許多分析都與理解這些方程式的性質有關，例如它們的解如何從初始條件演變而來，以及它們是否具有未來所有時間的解。
三體
如果在太空中只有兩個物體（例如月球和地球），那麼它們位置的演變可以用數學方式完整地描述。但是，像太陽一樣投擲第三體會產生深層的數學問題。在具有三個或三個以上物體的情況下，它們的長期行為對初始條件極為敏感。有一些初始條件下，地球幾乎會與月球發生碰撞，然後幾乎與太陽相撞，還有非常相似的初始條件，看似沒有碰撞，但尚無嚴格的證據證明沒有碰撞。太陽系的數學模型在人類文明的時間尺度上似乎是穩定的，但是當預測未來數百萬年時，它是混亂的。
概括地說，對於三個或三個以上的粒子，有許多起始位置，從該位置開始，所有未來時間點的粒子位置對初始條件都非常敏感，以至於數學家甚至無法確定運動方程是否允許對所有未來的時間都持續存在的解。
流體之謎
納維-斯託克斯Navier-Stokes方程描述了流體的行為。 對方程的完整數學理解仍然是一個挑戰。 未知方程的解是否會一直存在到將來（更不用說數值模擬是否可以精確地近似此類解了）。 挑戰是如此艱巨，以至於克萊數學研究所將Navier-Stokes方程的解的性質確定為數學中七個最重要的開放性問題之一（並為該問題提供了100萬美元的獎金）。
膨脹
數學家經常說方程式「膨脹」或「變壞」，在此之後，進一步的數學分析在很大程度上是不可能的。想像一下，您在某個時候掌握了世界的狀態，並且想在以後的所有時間內解決一定數量的問題，例如粒子的速度。用於描述這種演化的方程式涉及「導數」，這是微積分中描述量如何變化的概念。隨著方程的解隨時間變化，可能會出現一個點，解中的值變為無窮大。在危機時刻，導數毫無意義，解決方案就破滅了。好的物理模型並不期望這種行為，而數學家的目標之一就是確定我們是否可以期望我們的物理模型總體上表現出良好的行為。例如，千年獎的問題之一就是問用來描述流體流動的方程（Navier-Stokes方程）在所有時間點上的表現是否都很好。
愛因斯坦方程
愛因斯坦在1915年建立了他的廣義相對論基礎的方程。物理學家在那之後不久發現了一些顯式解。但是直到最近，數學家在理解這些方程解的一般性質方面取得了長足的進步。這些方程式描述了時空結構如何演變。長期以來，數學家只能研究最簡單的宇宙幾何模型（稱為閔科夫斯基Minkowski空間）的解的性質，其中宇宙的形狀沒有曲率。
最近的工作在解決更複雜且高度不對稱的初始條件下愛因斯坦的場方程方面取得了進展。例如，考慮一種情況，其中時空區域無關緊要，而是彎曲的。該曲率引起弱的引力場。給定特定時間的宇宙狀態，我們希望在未來的所有時間都遵循其演化。引力場發出微弱的引力波，這些引力波以光速拉開。最近，數學家證明，在這種情況下，存在愛因斯坦方程的解，可以理解這些解的行為方式，並且對於包含單個黑洞的彎曲時空也存在解。
變換
如果您有幾何對象，則對象上的每個點將由一組數字（即其坐標）定義。如果兩個坐標都允許為複數，則將獲得兩個復維的空間。數學家可以通過將流形上的每個點（函數的輸入）移動到某個其他位置（函數的輸出），將那些複數值坐標（以及與它們關聯的其他複數值）輸入到變換流形的函數中。
可以設計這些函數來實現各種轉換。在一種稱為曲線縮短流的轉換中，數學家尋找具有平滑曲線效果的方程式的解。結果是，類似於非常擺動的閉合路徑的形狀被轉換為更均勻的圓形，例如圓形。數學家混合使用幾何方法和解析方法的來探索形狀的曲率如何隨著變換的進行而變化。然後，他們使用該信息來推導初始形狀的屬性。
圖論
從一個點開始，然後用線將其連接到其他三個點。 然後將這三個點中的每一個連接到其他三個點，依此類推。 您最終將得到一個由點與邊相連的點網絡。
這種類型的網絡可用於分析計算機科學家感興趣的問題，這些問題通常涉及思考數據點如何相互關聯。 例子包括圖片匹配和比較兩種不同蛋白質的遺傳密碼。 在這兩種情況下，您都希望建立一些距離概念，以量化兩個不同事物之間的相似性。
如今，分析人員正在應用從連續幾何研究到離散度量空間研究的技術。 離散的世界對這些既有技術提供了新的觀點，從而導致對本身具有重要意義的發現，並且還可以反饋到連續世界中。
分析與概率
在16世紀和17世紀，數學家和賭徒發現，您可以將一些數字附加到不確定性上。在1930年代，蘇聯數學家科爾莫戈洛夫Andrei Kolmogorov通過引入分析技術為現代概率論奠定了基礎。
從那時起，數學家將概率研究推向了更加抽象和困難的環境，他們使用分析來了解特定事件發生的可能性。
分析對於理解涉及無限數量的概率特別有用，例如當您無限次擲骰子時獲得特定數字序列的概率。
例如，現代概率論借鑑了微積分的思想。牛頓和萊布尼茨的演算使研究連續事件成為可能，例如物體在太空中移動。 20世紀初，亨利·勒貝格（Henri Lebesgue）找到了一種方法，可以對無數個不連續的事件進行演算，例如一卷又一卷的骰子。事實證明，勒貝格（Lebesgue）的方法恰好是定義涉及無限事件序列的概率所需的工具。
布朗路徑
布朗路徑是連續但隨機的：如果我們知道路徑上的一個點，則可以（最多）為路徑上後續點的位置分配概率。 在1920年代，諾伯特·維納（Norbert Wiener）對這種鋸齒狀的路徑如何展開進行了精確的數學描述，並提出了「隨機連續路徑」的良好概念。 最近，數學家一直在使用分析方法來研究其他種類的隨機幾何對象的演化，例如隨機的「非交叉」路徑，隨機的生長模型和隨機的二維曲面。
通道
這些秘密通道將數字，形狀，變化這三個主題聯繫在一起。
代數幾何與拓撲
代數幾何研究多項式方程的解，拓撲研究實數和複數系統中更通用的方程組的解的「形狀」。因此，對於實數或複數上的多項式方程式，可以使用兩個主題的方法來探索解決方案，以揭示僅通過這兩種方法都看不見的新見解。一百多年來，這一直是代數幾何的主題。
但是這種聯繫更加深入，正如安德烈·韋伊（André Weil）在1940年代首次意識到的那樣。亞歷山大·格洛騰迪克（Alexander Grothendieck）以韋伊（Weil）的思想為基礎，在1950年代和1960年代建立了數論與拓撲之間的深層聯繫。數學家將格洛騰迪克的聯繫描述為有史以來最廣泛，廣泛，有力的論據。 Grothendieck的發現是，儘管最初在有限數系統中的多項式方程解似乎缺乏有趣的結構，但他們承認「拓撲」的概念與在複數上方程的解更常見。 Grothendieck發起了一個龐大的計劃，僅使用定義方程的代數就複數上的代數幾何的拓撲方面進行了重新構造。一旦完成，就可以將這些相同的定義應用於有限數系統上的多項式方程。該計劃一直持續到今天，並且對數論產生了很多視覺洞察力，其中一個亮點是Pierre Deligne證明了最後的Weil猜想，這是黎曼假設的幾何類似物。
龐加萊猜想
2003年，俄羅斯數學家格裡戈裡·佩雷爾曼（Grigori Perelman）證明了三維龐加萊猜想，這在當時是拓撲學中最突出的開放問題。該猜想最早是在1904年提出的，它斷言在其上的所有環可以收縮到一個點（而不會撕裂環）的任何三維形狀實際上是三維球體。
為了研究所有三維流形，Perelman使用了所謂的「流動方程」。流動方程會變換形狀，類似於模擬物理系統中熱流的方程。數學家可以在流程結束時使用對象的屬性來得出關於在流程開始時必須具有的屬性的結論（當形狀更複雜且更難以理解時）。最簡單的幾何流之一是「曲線縮短流」：如果我們從平面中的任意纏繞環開始，則曲線縮短流會在該環的每個點應用一個規則，該規則告訴該環在哪個方向和方向。它應根據該點的曲率變形到什麼程度。通過此過程，循環最終變為凸形，然後逐漸變圓，最終縮小到一個點，最終變成幾乎一個圓。
在證明龐加萊猜想的過程中，佩雷爾曼使用了一種稱為Ricci裡氏流的高維流，該流將曲率視為與熱類似。該方程式定義了流形上度量結構（而不是流形本身）隨時間的演變，並將該度量從對拓撲無用的度量轉換為對拓撲無意義的度量。
證明的艱苦工作是理解度量如何根據Ricci流方程定義的規則隨時間變化。佩雷爾曼（Perelman）找到了一種方法，可以將原始空間分解成可以執行流動的部分，甚至可以超出流動方程似乎破裂的時間（此過程稱為「帶手術的裡奇流動」）。結果，他能夠證明，通過以任意度量開始，他可以將原始歧管分解成碎片，每個碎片均具有恆定曲率的度量。從這些作品的屬性來看，他可以向後推論，以推斷出他最初的形狀的屬性。
奇怪的幾何
許多數字系統都有自己的幾何感。最熟悉的數字系統，即實數，被可視化為一條線。同樣，複數可以可視化為平面。數字理論家經常發現，用稱為「 p-adic」系統的其他數字系統來思考問題很有用，每個素數p都有一個。就像實數和複數一樣，p-adic數系統也接受類似於微積分研究的幾何形式，但是它們也具有特殊的功能，可以比實數或複數更深入地編碼數論信息。這種「 p-adic解析幾何」具有一些令人不愉快的特性，限制了其在高級數論中的應用。
在1960年代，數學家約翰·泰特（John Tate）開發了非阿基米德幾何學，以提供一種更為健壯的方式來思考p-adic數字的幾何學。這種非阿基米德幾何學已發展成為一種具有幾何風味的數論問題的強大工具，它還為彼得·舒爾茨（Peter Scholze）最近在Perfectoid空間上開展的工作提供了背景，這為有限域上的代數幾何與類比幾何之間的類比帶來了新見解。在複數上。它還涉及到組合幾何學（通過所謂的熱帶幾何學），並且最近作為辛幾何學的一種技術出現了。