x^2/3+y^2/2+z^2/2=1,求x+y+z的取值範圍

主要內容：

通過柯西不等式、換元法及構造多元函數法，介紹x+y+z在滿足給定條件x^2/3+y^2/2+z^2/2=1下的取值範圍。

主要公式：

1.柯西不等式:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2.

2.sin(a+b)=sinacosb+cosasinb.

柯西不等式法:

∵(x^2/3+y^2/2+z^2/2)*(3+2+2)

≥(x+y+z)^2，

∴1*(3+2+2)≥(x+y+z)^2。

即：-√7≤x+y+z≤√7。

所以所求代數式的取值範圍為：

[-√7,√7]。

換元法：

根據已知條件x^2/3+y^2/2+z^2/2=1，設

x=√3sinasinb,

y=√2sinacosb，

z=√2cosa，此時有：

x+y+z

=(√3sinb+√2cosb)sina+√2cosa；

則|x+y+z|≤√[(√3sinb+√2cosb)^2+2]，

=√(3+2+2)= √7，

即：-√7≤x+y+z≤√7。

所以所求代數式的取值範圍為：[-√7,√7]。

多元函數法：

設F(x,y,z)=x+y+z-λ(x^2/3+y^2/2+z^2/2-1),

分別對x,y,z,λ求偏導數，得：

Fx=1-2λx/3,Fy=1-2λy/2,Fz=1-2λz/2,

Fλ=x^2/3+y^2/2+z^2/2-1。

令Fx=Fy=Fz= Fλ=0,則：

x=3/2λ,y=2/2λ,z=2/2λ

代入到Fλ=0方程中，則：

3/4λ^2+2/4λ^2+2/4λ^2=1,

解得：2λ=±√7.

此時代入，得：

x+y+z的最大值

=(3+2+2)/2λ

=(3+2+2)/√7

=√7。

同理最小值為相反數，即取值範圍為：

[-√7,√7]。

更多方法歡迎大家討論學習。