同增為增,函數y=2lnx+x^2+2的圖像來印證

本文主要內容，兩個同增函數的和為增函數，舉例y=2lnx+x^2+2的函數圖像示意圖。

※.函數的定義域

對自然對數lnx而言，要求真數為正數，即函數的定義域為：(0，+∞)。

※.函數的單調性

∵y=2lnx+x^2+2

∴y'=2/x+2x，

由於x>0,則：y'>0,

即函數y在定義域上為單調增函數。

可見，函數2lnx與x^2在x＞0的區間上，

均為增函數，則兩函數的和也為增函數。

※.函數的凸凹性

∵y'=2/x+2x,

∴y''=-2/x^2+2=(2x^2-2)/x2，

令y''=0,則2x^2-2=0，

即x^2=1，

得x=1，其中負根捨去。

故函數的凸凹性及凸凹區間為：

(1).當x∈(0，1)時，y''<0,

此時函數y在定義域上為凸函數。

(2).當x∈(1，+∞)時，y''>0,

此時函數y在定義域上為凹函數。

※.函數的極限

根據函數特徵，有函數的極限為：

lim(x→0) 2lnx+x^2+2=-∞，

lim(x→+∞) 2lnx+x^2+2=+∞。

※.函數的五點圖

※.函數的示意圖

綜合函數的定義域、單調性、凸凹性，該函數的示意圖為：

※.結束語

本文中，兩個單獨的函數y1=2lnx與y2=x^2，

其二階導數分別為y1''=-x^2/2<0,y2''=2>0,

均沒有拐點，但其函數的和y=y1+y2確有拐點，

為什麼呢，我們一起想一想。