這是《機器學習中的數學基礎》系列的第6篇。
今天我們來介紹基變換，簡單地說，基變換就是把向量用不同的基來表示。我們來舉個例子：
圖1
如上圖，在我們常見的標準坐標系中，有一個向量w=（2,2）。此時的基向量是i、j，我們可以用2i+2j來表示向量w。那能不能更換基向量來表示w呢？可以的，如下圖：
圖2
向量w並沒有變化，我們只是把原來的基向量都擴大了1倍，變成了新的基向量i』和j』。那w如何用新的基向量來表示呢？從圖上就可以看出，w=i』+j』。由於基變換了，我們的坐標系自然也跟著變換了。因此，在新的坐標系中，向量w就表示為（1,1）。
好，現在讓我們聚焦於圖2中新的坐標系。其中，向量w=（1,1），我們想知道在標準坐標系中的向量w該如何表示呢（忘掉圖1）？
在新坐標系中，w=1i』+1j』（1），而i』在標準坐標系中的坐標是（2,0），j』在標準坐標系中的坐標是（0,2），把它們代入到（1）式，可得：
這是啥？這不就是矩陣乘以向量的展開嗎？如下：
因此，我們就求得了w在標準坐標系中的坐標是（2,2）。
我們再來看下上面的式子，矩陣[2,0;0,2]表示了一種線性變換，它把新坐標系中的向量表示為了標準坐標系中的向量。那肯定又有人問了，如果給定一個標準坐標系的向量，如何求出它在新坐標系中的向量坐標呢？聰明的你肯定想到了，矩陣[2,0;0,2]的逆就表示了從標準坐標繫到新坐標系的轉換。因此，只需用矩陣[2,0;0,2]的逆乘以標準坐標系中的向量，就可以得到新坐標系中的向量表示了。
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