在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交於A，B兩點（點A在點B的左側），頂點為C（0，2）．直線DB交y軸於點D，交拋物線於點P（4√3，6）．
（1）求拋物線的表達式及點D的坐標；
（2）點E是拋物線上的動點，若以A，B，P，E為頂點的四邊形僅有一組對邊平行，求點E的坐標；
（3）連接AP，點F在直線AP上，設點F到直線DB的距離為m，點F到點D的距離為n，求m+n的最小值．
解：（1）∵拋物線頂點為C（0，2），∴設拋物線的解析式是y=ax2+2，又∵點P（4√3，-6）在拋物線上，∴a（4√3）2+2=-6，解得a=-16，∴拋物線的解析式為y=-16x2+2；令y=0，則-16x2+2=0，解得x1=-2√3，x2=2√3，∴點A（-2√3，0），點B（2√3，0），設直線DP的解析式為y=kx+b，則 {2√3k+b=04√3k+b=6，解得 {k=√3b=6，∴直線DP的解析式為y=-√3x+6，令x=0，則y=6，所以，點D的坐標為（0，6）
（2）①AP∥BE時，設直線AP的解析式為y=ex+f，則 {2√3e+f=04√3e+f=6，解得 e=√33f=2，所以，直線AP的解析式為y=-√33x-2，設直線BE的解析式為y=-√33x+g，則-√33×2√3+g=0，解得g=2，所以，直線BE的解析式為y=-√33x+2， y=√33x+2y=16x2+2得 {x1=0y1=2，{x2=2√3y2=0（為點B的坐標），所以點E的坐標為（0，2）；
②AB∥PE時，∵拋物線關於y軸對稱，
∴點E為點P（4√3，-6）關於y軸的對稱點，
∴點E（-4√3，-6）；
③BP∥AE時，∵直線DP的解析式為y=-√3x+6，
∴設直線AE的解析式為y=-
√3x+h，則-√3×（-2√3）+h=0，
解得h=-6，
∴直線AE的解析式為y=-√3x-6，
解：y=√3x6y=16x2+2，得
{x1=8√3y1=30，{x2=2√3y2=0（為點A坐標），
所以，點E坐標為（8√3，-30），
綜上所述，點E坐標為（0，2），（-4√3，-6），（8√3，-30）；
（3）如圖，過點P作PM⊥x軸於點M，PN⊥y軸於點N，
∵A（-2√3，0），B（2√3，0），P（4√3，-6），
∴tan∠APM=AMPM=6√36=√3，tan∠BPM=BMPM=2√36=√33，
∴∠APM=60°，∠BPM=30°，
∴∠APB=∠APM-∠BPM=60°-30°=30°，
又∵PN∥AM，
∴∠APN=∠PAM=90°-60°=30°，
∴∠APB=∠APN，
點F在直線AP上，過點F作FH⊥PN於點H，根據角平分線的性質可得FH=m，
連接DF、DH，根據三角形的三邊關係，DF+FH＞DH，
即m+n＞DH，
所以，當點D、F、H三點共線時，m+n的最小值，
此時，點F為直線AP與y軸的交點，點H、N重合，
最小值m+n=6-（-6）=6+6=12．
試題剖析與解題方法：（1）設拋物線頂點式解析式y=ax2+1，然後把點P的坐標代入進行計算即可得解；求出拋物線與x軸的交點A、B，然後利用待定係數法求一次函數解析式求出直線DB的解析式，令x=0求出y的值即可得到點D的坐標；
（2）根據四邊形僅有一組對邊平行，分①AP∥BE，求出直線AP的解析式，再根據平行直線的解析式的k值相等求出直線BE的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點E的坐標；
②AB∥PE，根據拋物線的對稱性可得點E與點P關於y軸對稱；③BP∥AE，根據平行直線的解析式的k值相等求出AE的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點E的坐標；
（3）過點P作PM⊥x軸於點M，PN⊥y軸於點N，根據點A、B、P的坐標可以求出∠APM=60°，∠BPM=30°，∠APN=30°，然後求出PA是∠BPN的平分線，過點F作FH⊥PN於點H，連接DF、DH，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得FH=m，根據三角形的三邊關係可得當點D、F、H三點共線時，m+n的值最小，此時，點F為直線AP與y軸的交點，m+n=PN，然後求解即可．
相關知識評析：
本題是二次函數的綜合題型，主要涉及待定係數法求函數解析式（二次函數與直線解析式），梯形的對邊平行的性質，解直角三角形求銳角的度數，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，以及三角形的三邊關係。
歸納：（1）利用頂點式解析式求解比較簡單。（2）要注意分底邊的不同進行討論。（3）根據求出的角度的相等的角，利用角平分線的性質是解題的突破口．