新課程·反比例函數中考數學壓軸——單曲線與三角形賞析

2020-12-14 初中數學壓軸姜老師

原理證明：

如圖，點A為反比例函數y=k/x圖象上的任意一點，且AB垂直於軸，則有S△OAB=丨k丨/2。

當O點在y軸時，面積保持不變S△EAB=丨k丨/2， S△FAB=丨k丨/2

變式：AC垂直於y軸，則S△OAC=丨k丨/2

當O在x軸時所形成的面積也為丨k丨/2。

典型例題：

1．（2017秋五蓮縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，⊙A與x軸相切於點B，BC為⊙A的直徑，點C在函數y＝k/x（k＞0，x＞0）的圖象上，若△OAB的面積為5/2，則k的值為（　　）

A．5 B．15/2 C．10 D．15

【分析】接OC，求出△BCO面積即可解決問題．

【解答】解：如圖連接OC，

∵BC是直徑，『

∴AC＝AB，

∴S△ABO＝S△ACO＝5/2，

∴S△BCO＝5，

∵⊙A與x軸相切於點B，

∴CB⊥x軸，

∴S△CBO＝k/2，

∴k＝10，

故選：C．

【點評】本題考查反比例函數、切線的性質等知識，解題的關鍵是理解S△BCO＝丨k丨/2，屬於中考常考題型．

同步練習：

1．（2017鏡湖區校級一模）如圖所示，直線l和反比例函數y＝k/x（k＞0）的圖象的一支交於A，B兩點，P是線段AB上的點（不與A，B重合），過點A，B，P分別向x軸作垂線，垂足分別是C，D，E，連接OA，OB，OP，設△AOC面積是S1，△BOD面積是S2，△POE面積是S3，則（　　）

A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1＝S2＞S3 D．S1＝S2＜S3

【分析】根據雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關係即S＝1/2|k|．

【解答】解：結合題意可得：AB都在雙曲線y＝k/x上，

則有S1＝S2；

而線段AB之間，直線在雙曲線上方；

故S1＝S2＜S3．

故選：D．

【點評】本題主要考查了反比例函數 y＝k/x中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經常考查的一個知識點；這裡體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．

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