新課程·反比例函數系列—雙曲線對象限與三角形(中考數學壓軸)

2020-12-21 初中數學壓軸姜老師

原理證明：

如圖，點A為反比例函數y=k/x圖象上的任意一點，且AC垂直於軸，B為反比例中心對稱點，則有S△ABC=|k|。

如圖：過A做y軸平行線，過B做x軸平行線交D點，則S△ABD=|2k|

典型例題：

1．（2014黔東南州）如圖，正比例函數y＝x與反比例函數y＝1/x的圖象相交於A、B兩點，BC⊥x軸於點C，則△ABC的面積為（　　）

A．1 B．2 C．3/2 D．5/2

【分析】由於正比例函數y＝x與反比例函數y＝1/x的圖象相交於A、B兩點，則點A與點B關於原點對稱，所以S△AOC＝S△BOC，根據反比例函數比例係數k的幾何意義得到S△BOC＝1/2，所以△ABC的面積為1．

【解答】解：∵正比例函數y＝x與反比例函數y＝1/x的圖象相交於A、B兩點，

∴點A與點B關於原點對稱，

∴S△AOC＝S△BOC，

∵BC⊥x軸，

∴△ABC的面積＝2S△BOC＝2×1/2×|1|＝1．

故選：A．

【點評】本題考查了反比例函數比例係數k的幾何意義：在反比例函數y＝k/x的圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．

同步練習：

1．（2019秋南開區期末）正比例函數y＝x與反比例函數y＝1/x的圖象相交於A，C兩點，AB⊥x軸於點B，CD⊥x軸於點D（如圖），則四邊形ABCD的面積為（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8

【分析】聯立正比例函數與反比例函數的解析式，解方程組得點A、B、C、D的坐標，然後在求四邊形ABCD的面積．

【解答】解：解方程組y=x y=1/x，得X1=1 Y1=1，X2=-1 Y2=-1

即：正比例函數y＝x與反比例函數y＝1/x的圖象相交於兩點的坐標分別為A（1，1）B（﹣1，﹣1）

所以D點的坐標為（﹣1，0），B點的坐標為（1，0）

因為，AB⊥x軸於點B，CD⊥x軸於點D

所以，△ABD與△BCD均是直角三角形

則：S四邊形ABCD＝1/2BDAD+1/2BDCD＝1/2×2×1+1/2×2×1＝2，

即：四邊形ABCD的面積是2

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，解題的關鍵是理解反比例函數與一次函數的圖形的交點坐標是其解析式聯立而成的方程組的解

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