前言：
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反比例函數作為初中數學的難點，其隱含結論之多，計算複雜度之大，甚至超過了二次函數，但如果掌握了一定的解題技巧，許多提還是可以秒殺的。反比例函數的解答題策略主要有兩個：
一是利用面積轉化為K的幾何意義；
二是設而不求。
如果掌握了一些解題的模型和二級結論相信可以節省不少答題時間。今天我們就主要來研究反比例函數的一些幾何特徵。
來，我們看下面選填例題#反比例函數專題#
一．填空題（共5小題）
1．（2020日照）如圖，在平面直角坐標系中，ABCD的頂點B位於y軸的正半軸上，頂點C，D位於x軸的負半軸上，雙曲線y＝k/x（k＜0，x＜0）與ABCD的邊AB，AD交於點E、F，點A的縱坐標為10，F（﹣12，5），把△BOC沿著BC所在直線翻折，使原點O落在點G處，連接EG，若EG∥y軸，則△BOC的面積是（ ）．
2．（2019日照）如圖，已知動點A在函數y=4/x(x＞0)的圖象上，AB⊥x軸於點B，AC⊥y軸於點C，延長CA交以A為圓心AB長為半徑的圓弧於點E，延長BA交以A為圓心AC長為半徑的圓弧於點F，直線EF分別交x軸、y軸於點M、N，當NF＝4EM時，圖中陰影部分的面積等於（ ）．
3．（2018日照）在平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標均為整數的點叫做整點．已知反比例函數y＝m/x（m＜0）與y＝x﹣4在第四象限內圍成的封閉圖形（包括邊界）內的整點的個數為2，則實數m的取值範圍為（ ）．
4．（2017日照）如圖，在平面直角坐標系中，經過點A的雙曲線y＝k/x（x＞0）同時經過點B，且點A在點B的左側，點A的橫坐標為√2，∠AOB＝∠OBA＝45°，則k的值為（ ）．
5．（2016日照）如圖，直線y＝﹣3/4x+3與x軸、y軸分別交於點A、B；點Q是以C（0，﹣1）為圓心、1為半徑的圓上一動點，過Q點的切線交線段AB於點P，則線段PQ的最小值是（ ）．
參考答案與試題解析
一．填空題（共5小題）
1．（2020日照）如圖，在平面直角坐標系中，ABCD的頂點B位於y軸的正半軸上，頂點C，D位於x軸的負半軸上，雙曲線y＝k/x（k＜0，x＜0）與ABCD的邊AB，AD交於點E、F，點A的縱坐標為10，F（﹣12，5），把△BOC沿著BC所在直線翻折，使原點O落在點G處，連接EG，若EG∥y軸，則△BOC的面積是 （50/3）．
【分析】
將點F坐標代入解析式，可求雙曲線解析式為y=60/x，由平行四邊形的性質可得OB＝10，BE＝6，由勾股定理可求EG的長，由勾股定理可求CO的長，即可求解．
【解答】
解：∵雙曲線y=k/x(k＜0，x＜0)經過點F（﹣12，5），
∴k＝﹣60，
∴雙曲線解析式為y=60/x．
∵ABCD的頂點A的縱坐標為10，
∴BO＝10，點E的縱坐標為10，且在雙曲線y=60/x上，
∴點E的橫坐標為﹣6，即BE＝6．
∵△BOC和△BGC關於BC對稱，
∴BG＝BO＝10，GC＝OC．
∵EG∥y軸，在Rt△BEG中，BE＝6，BG＝10，
∴EG＝√10-√6=8．
延長EG交x軸於點H，
∵EG∥y軸，
∴∠GHC是直角，
在Rt△GHC中，設GC＝m，則有CH＝OH﹣OC＝BE﹣GC＝6﹣m，GH＝EH﹣EG＝10﹣8＝2，
則有m＝2+（6﹣m），
∴m=10/3，
∴GC＝10/3＝OC，
∴S△BOC=1/2×10/3×10=50/3，
故答案為：50/3．
【點評】本題考查了反比例函數係數k的幾何意義，摺疊的性質，平行四邊形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
2．（2019日照）如圖，已知動點A在函數y=4/x(x＞0)的圖象上，AB⊥x軸於點B，AC⊥y軸於點C，延長CA交以A為圓心AB長為半徑的圓弧於點E，延長BA交以A為圓心AC長為半徑的圓弧於點F，直線EF分別交x軸、y軸於點M、N，當NF＝4EM時，圖中陰影部分的面積等於（2.5π ）．
【分析】
作DF⊥y軸於點D，EG⊥x軸於G，得到△GEM∽△DNF，於是得到DF/GM=NF/EM=4，設GM＝t，則DF＝4t，然後根據△AEF∽△GME，據此即可得到關於t的方程，求得t的值，進而求解．
【解答】
解：作DF⊥y軸於點D，EG⊥x軸於G，
∴△GEM∽△DNF，
∵NF＝4EM，
∴DF/GM=NF/EM=4，
設GM＝t，則DF＝4t，
∴A（4t，1/t），
由AC＝AF，AE＝AB，
∴AF＝4t，AE＝1/t，EG＝1/t，
∵△AEF∽△GME，
∴AF：EG＝AE：GM，
即4t：1/t＝1/t：t，即4t＝1/t，
∴t＝1/2，
圖中陰影部分的面積＝[90π·(4t)]/360+[90π·(1/t)]/360＝2π+1/2π＝2.5π，
故答案為：2.5π．
【點評】
本題考查了反比例函數y＝k/x（k≠0）係數k的幾何意義，扇形的面積，也考查了相似三角形的判定與性質．
3．（2018日照）在平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標均為整數的點叫做整點．已知反比例函數y＝m/x（m＜0）與y＝x﹣4在第四象限內圍成的封閉圖形（包括邊界）內的整點的個數為2，則實數m的取值範圍為 (﹣2≤m＜﹣1) ．
【分析】
根據題意可知拋物線在第四象限內的部分，然後根據反比例函數y＝m/x（m＜0）與y＝x﹣4在第四象限內圍成的封閉圖形（包括邊界）內的整點的個數為2，可以得到不等式組，從而可以求得m的取值範圍．
【解答】
解：∵y＝x﹣4，
∴當x＝0時，y＝﹣4，當y＝0時，x＝±2，當x＝1時，y＝﹣3，
∴拋物線y＝x﹣4在第四象限內的部分是（0，﹣4）到（2，0）這一段曲線部分，
∵反比例函數y＝m/x（m＜0）與y＝x2﹣4在第四象限內圍成的封閉圖形（包括邊界）內的整點的個數為2，
∴m/1≥-2，m/1＜-1，
解得，﹣2≤m＜﹣1，
故答案為：﹣2≤m＜﹣1．
【點評】
本題考查反比例函數的性質、二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用不等式的性質解答．
4．（2017日照）如圖，在平面直角坐標系中，經過點A的雙曲線y＝k/x（x＞0）同時經過點B，且點A在點B的左側，點A的橫坐標為√2，∠AOB＝∠OBA＝45°，則k的值為 （1+√5）
【分析】
過A作AM⊥y軸於M，過B作BD⊥x軸於D，直線BD與AM交於點N，則OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，由等腰三角形的判定與性質得出OA＝BA，∠OAB＝90°，證出∠AOM＝∠BAN，由AAS證明△AOM≌△BAN，得出AM＝BN＝√2，OM＝AN＝k/√2，求出B（k/√2+√2，k/√2﹣√2），得出方程（k/√2+√2）（k/√2﹣√2）＝k，解方程即可．
【解答】
解：過A作AM⊥y軸於M，過B作BD⊥x軸於D，直線BD與AM交於點N，如圖所示：
則OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵∠AOB＝∠OBA＝45°，
∴OA＝BA，∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∴∠AOM＝∠BAN，
在△AOM和△BAN中，（∠AOM=∠BAN，∠AMO=∠BNA，OA=BA）
∴△AOM≌△BAN（AAS），
∴AM＝BN＝√2，OM＝AN＝k/√2，
∴OD＝k/√2+√2，BD＝k/√2﹣√2，
∴B（k/√2+√2，k/√2﹣√2），
∴雙曲線y＝k/x（x＞0）同時經過點A和B，
∴（k/√2+√2）（k/√2﹣√2）＝k，
整理得：k﹣2k﹣4＝0，
解得：k＝1±√5（負值捨去），
∴k＝1+√5；
故答案為：1+√5．
【點評】本題考查了坐標與圖形性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度．
5．（2016日照）如圖，直線y＝﹣3/4x+3與x軸、y軸分別交於點A、B；點Q是以C（0，﹣1）為圓心、1為半徑的圓上一動點，過Q點的切線交線段AB於點P，則線段PQ的最小值是 (√231/5) ．
【分析】
過點C作CP⊥直線AB與點P，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，此時PQ最小，連接CQ，利用角的正弦求出CP的值，再根據勾股定理即可求出PQ的長度．
【解答】
解：過點C作CP⊥直線AB於點P，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，此時PQ最小，連接CQ，如圖所示．
當x＝0時，y＝3，
∴點B的坐標為（0，3）；
當y＝0時，x＝4，
∴點A的坐標為（4，0）．
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝√OA+√OB＝5，
∴sinB＝OA/AB=4/5．
∵C（0，﹣1），
∴BC＝3﹣（﹣1）＝4，
∴CP＝BCsinB＝16/5．
∵PQ為⊙C的切線，
∴在Rt△CQP中，CQ＝1，∠CQP＝90°，
∴PQ＝√CP-√CQ=√231/5．
故答案為：√231/5．
【點評】
本題考查了切線的性質、三角函數以及勾股定理，解題的關鍵是確定P、Q點的位置．本題屬於中檔題，難度不大，解決該題型題目時，藉助於切線的性質尋找到PQ取最小值時點P、Q的位置是關鍵．