消長問題，俗稱牛吃草問題，為英國大科學家牛頓所創。初遇此類型，很多學生頓感不知所措。網上雖有此類問題的解析和公式，但往往只是泛泛而談，學生根本不能真正理解公式背後的意義。今天我嘗試帶領大家來探討這些公式。我們先看一道典型題：
例1：一片牧場上的草勻速生長。30頭牛5天可以把草吃完；20頭牛10天也可以把草吃完。問15頭多少天把草吃完？
要想求出15頭牛要多少天能吃完草，我們至少要知道兩個因素，一個是草的總量，另外一個是每頭牛每天吃多少草。關於後者，我們通常假設每頭牛每天吃草是1份，當然你也可以用未知數表示，或者用五角星、三角形表示，結果都是相同的。這就如同我們遇到工程問題的時候，通常把工程量當做「1」來處理。
至於前者，我們可能錯誤地認為草的總量就是牧場原有草的量，這就忽略了一種重要因素，即草是勻速增長的，每天都在增加，直到最後一天牛把新草、舊草全部吃完。草的單位在題目中也沒有提及，我們同樣用「份」來表示，這樣單位就統一了。新草的總量=草的生長速度（每天長出多少新草）X天數，故牛吃草的總量=牧場原有的草量+新增草的總量
有了上面的基礎，我們只要藉助下圖就可以直觀看出一些端倪。其中紅色線段表示牧場原有草量，後面的每個小段表示草每天的增長量。
所以， 20頭牛10天吃草總量（下方的線段，20X10X1=200份）與30頭牛5天吃草總量（上方的線段30X5X1=150份）之差就是5（10-5=5）天的草增長量。
故牧場每天的草增長量為：（200-150）÷（10-5）=10（份） 牧場原有的草為：150-10X5=100（份）
這樣我們就得出以下兩個公式：
草的生長速度=（對應的牛頭數×吃的較多天數－對應的牛頭數×吃的較少天數）÷（吃的較多天數－吃的較少天數）（1）
原有草量=牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數（2）
在（2）的基礎上，我們根據乘法分配律可以得到：
原有草量=吃的天數X（牛頭數-草的生長速度）
所以：吃的天數=原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）（3）
在（3）的基礎上，我們根據除法的意義可以得到
牛頭數=原有草量÷吃的天數+草的生長速度（4）
接下來，我們來繼續解題，問15頭牛多少天把草吃完？根據公式（3），我們列算式得出
100÷（15-10）=20（天），答：略。
只要理解此類題的邏輯關係，上面的四個公式無需死記。此類題的關鍵就是要把草每天增長的量先求出來，繼而求出牧場原有草量。求出這二者之後，我們還可以用列方程的辦法解題。假設牛需要吃X天，那麼有100+10X=15X，同樣得到X=20。
消長問題在小學數學階段還是比較難的，它難就難在隱形的因素多。希望本篇文章能為你的數學學習之路排憂解難，越是戰勝難度大的題目，成就感也會越強！