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在自然界中，遍布著優美的螺線。無論是在海貝殼、羊角、海馬和蜥蜴尾巴，還是在人類耳朵裡的耳蝸，你都會看到它們呈現出具有沿著長度延伸的特別形狀——對數螺線。在那些出現在自然界的特殊螺線中，有一種螺線被稱為歐拉螺線。
歐拉螺線也被稱為考紐螺線或羊角螺線，它是一種由曲率和弧長的線性關係定義的形狀。歐拉螺線看上去是S形的，在「S」的兩端會繼續向內彎曲形成迅速收緊的螺旋形。所以，曲線的各個部分可以匹配各種各樣的形狀，無論是直的還是S形的，曲率增加的或曲率減小的。
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雖然，歐拉螺線是以瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）的名字命名的，但實際上，它最初是由詹姆斯·伯努利（James Bernoulli）在1694年時首次描述的。當時，伯努利正試圖解決一個與彈性有關的數學問題，但他並沒有將螺線繪製出來，也沒有在方程中加入任何數字，甚至沒有提供額外信息來表明這個方程是否正確的。
○ 彈性問題中的歐拉螺線。
上圖所示的正是伯努利所思考的彈性問題，這是一個關於當在一個最初是平直的彈性材料（如彈簧金屬）的端點施加負重時會形成的形狀的問題。歐拉螺線可以定義為這個問題的逆問題：在一個最初呈彎曲狀態的彈性材料上加上負重後使其變成直線。
當彈性材料被拉直時，任意一點的力矩（M）都等於力（F）乘以距離（s）。根據基本彈性理論，可得在原始曲線上的點的曲率與力矩成正比。因此到力的距離等於弧長。所以，曲率與弧長成正比，這也正是歐拉螺線的定義。
伯努利寫出了曲線的方程，但沒有畫出它的真實形狀。他沒有計算任何數值，也沒有寫下為什麼這個方程是正確的推導過程。他的核心觀點是曲率是加性的，更具體地說，彈性材料在力矩作用下的曲率，等於它在無應力狀態下的曲率加上力矩和彈性係數的乘積。但他從未正式發表過這一結論。
歐拉發現了伯努利方程，並在1744年這種曲線進行了分析和描述。
○ 歐拉的分析。
自那之後，它又被獨立地重新發現了兩次。一次發生在1818年，當時法國物理學家奧古斯汀·菲涅爾（Augustin Fresnel）想要計算光通過狹縫的衍射模式，於是獨立地推導出了歐拉螺線；另一次發生在1890年，美國土木工程師阿瑟·塔爾博特（Arthur Talbot）在設計鐵路軌道時再次發現了這一點，他需要計算出可以完美連接直線軌道和曲線軌道的過渡鐵軌的理想形狀，以使火車的行進更加順暢。
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歐拉螺線有一個從平直到曲線的過渡。在最近一項發表於《科學進展》的研究中，數學家、生理學家以及行為學家甚至通過歐拉螺線發現了老鼠的秘密。在生活中，老鼠並不是一種受人喜愛的動物，但不得不承認的是，它們非常敏銳，以及有著強大的適應能力。新的這項研究表明，老鼠的這種敏銳，或許都要歸因於隱藏在它們鬍鬚中的數學。
一隻老鼠臉上的鬍鬚數量可以多達70根，它們的長度和形狀各異，是老鼠的超級敏感且可移動的毛髮。憑藉這些毛髮，老鼠可以探索和感知周圍的環境。鬍鬚是由已死亡的毛細胞組成的，它們位於一種特殊的敏感毛囊內。當鬍鬚接觸到物體時，毛囊會負責提取鬍鬚的力和方向信息，再將這些信息傳遞給大腦。依據這些信息，老鼠可以感知物體，並判斷其形狀、大小和質地。
每根鬍鬚的大小和自然形狀會對它變形的方式以及抵達了毛囊的觸覺信號產生強烈的影響。這意味著，用數學方程來描述鬍鬚的形狀將有助於我們理解毛囊接收到的信號。此外，從這個方程中我們還能得知，老鼠的鬍鬚可能每天會從根部以相同的量生長，儘管這也可能受到季節和老鼠的食物量的影響。
研究人員從15隻老鼠身上採集到的523根鬍鬚，每根鬍鬚都有不同的長度和形狀。他們驚喜地發現，即使這些鬍鬚形狀各異，但都可以用一個簡單的數學方程來準確描述，那就是歐拉螺線。
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自然界充滿了數學模式，數學可以讓我們從一個新穎的角度去了解生物結構和生物系統是如何工作的。現在，研究人員通過分析老鼠的鬍鬚是如何遵循歐拉螺線的，以及這種螺線在自然界的常見程度，推測出其他哺乳動物的鬍鬚很可能也遵循類似的規則。
無論是設計鐵路軌道或道路中的過渡段，還是尋找賽車通過彎道時的最佳路徑，歐拉螺線都有其用武之地。除此之外，在解決如何將平面地圖投射到地球儀上，以及改進微波操作等方面，也都離不開這種美麗的曲線。
參考來源：
https://www2.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-111.pdf
https://advances.sciencemag.org/content/6/3/eaax5145
https://theconversation.com/how-we-found-a-special-maths-equation-hidden-in-rat-whiskers-130345
原標題：一條優美而實用的曲線
來源：原理
編輯：小林綠子
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