祖衝之如何算出圓周率?用編程還原計算過程,結果令人感嘆不已

2020-12-08 積木哥思維與數學

圓周率π約等於多少？相信小學生也能張口回答：3.1415926。

這個數是怎麼來的？回答：是祖衝之算出來的！

OMG

好吧，其實我想問的問題是：祖衝之如何計算出如此精確的數字呢？

相信你也和我一樣抱有這份好奇心吧。今天，我們要詳細了解祖先生使用的圓周率算法，並且通過Scratch3.0編程還原整個計算過程，是不是很期待呢？

故事要從π的算法說起……

01割圓術

魏晉時期有個數學家叫劉徽，在他之前人們使用圓內接正十二邊形的面積，代替圓的面積，然後通過將正十二邊形拆補成一個長方形，以此計算圓的面積。

劉徽感覺哪裡不對，這樣計算誤差很大啊！如果用正24邊形代替正12邊形就會減少誤差，再在24邊形的基礎上繼續切割成48邊形、96邊形……就這樣他割出了圓內接正3072邊形！得到了π的近似值3.1416。

割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣。

在劉徽的心中，割得越多，誤差越少，最終將與圓「合體」實現零誤差。這是一種極限思維，但是苦於當時的計算條件，割到3072邊形已經驚世駭俗了。

祖衝之

轉眼過了200多年，到了南北朝時期，著名的天文學家、數學家祖衝之隆重登場，他在劉徽割圓術的基礎上，進一步精確計算，據史料記載：祖衝之設置了一個直徑一丈的圓，然後使用割圓術割到24576邊形，然後求得內接正多邊形的周長為「三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽之間」，即π介於3.1415926和3.1415927。

祖衝之使用的是周長法。通過測量（計算）正多邊形的周長，用周長與直徑的比值計算圓周率π。

周長法原理

原理就是這樣的，但當時祖衝之是如何測量、如何計算，至今仍是未解之謎！

02Scratch計算圓周率

在魏晉時期，算盤這種神器是不存在的。（據考證算盤實在唐、宋時期才出現的）祖衝之計算時使用的是一些小木棍——算籌，且不論測量時如何解決誤差問題，僅是計算時面臨的困難，其難度可想而知。

今天，我們還原祖衝之周長法計算圓周率，當然不用再拿尺子去量了，藉助計算機的強大運算能力，學習少兒編程的小朋友使用Scratch編程也能輕易計算出更精準的π。

先將公式進行推導：

正n邊形的邊長對應的圓心角 θ = 360° / n

正n邊形邊長 AB = 2 × r × sin( θ / 2 )

正n邊形周長 C = AB × n

圓周率 π = C / ( 2 × r )

綜合以上，圓周率π = n × sin( 180° / n )

根據公式，在Scratch3.0中設置兩個變量：邊數和π。然後搭建積木如下：

Scratch計算圓周率代碼

利用重複執行，不斷增加邊數，並根據公式計算出對應的π值。

在處理變量π的值時，使用字符串連接，可以將數字轉化為字符串，避免系統自動將小數點後的位數約掉。

當點擊綠旗後，數值不斷跳動……我們的還原計算工作大功告成！

（邊數達到24576時，π的值約為3.1415918592，這和祖衝之的計算結果是有差距的，原因是我們使用正弦函數進行計算式產生的誤差。）

03感嘆

故事到這裡基本接近尾聲了，我們藉助計算機編程很容易地還原了割圓法計算圓周率的過程，雖然計算結果並不十分令人滿意，但還是要感嘆時代變遷、科技發展給我們帶來了多少便利。

遙想當年劉徽、祖衝之的時代，沒有算盤，甚至沒有阿拉伯數字……如此條件下，進行這麼大規模的計算，耗費的腦力、心力和體力都是常人難以想像的！所著成就更是舉世矚目，在浩瀚的歷史長河裡閃耀著智慧之光！

如今科技的發展，瞬間完成了以前多少代人付之努力才能完成的事。當然，我們是站在巨人的肩膀上。

下面，我們簡要回顧π的歷史變遷，向先賢致敬！

04π的歷史

π

約公元前2世紀，中國古代數學著作《周髀算經》記載「徑一而周三」，即圓周率約為3；

約產於公元前1900年至公元前1600年，一塊古巴比倫石匾上記載了圓周率為3.125。同時期，古埃及文物上記載圓周率等於分數16/9的平方，約為3.1605；

約公元前250年，古希臘大數學家阿基米德藉助勾股定理對圓的內接、外接正96邊形邊長求值，並取平均值3.141851，開創了人類歷史上通過理論計算圓周率近似值的先河。

約公元263年，魏晉時期的數學家劉徽用「割圓術」計算圓周率，求出3072邊形的面積，得到3.1416；

約公元480年，南北朝時期的數學家祖衝之將圓周率精確到小數點後7位，即我們常說的3.1415926至3.1415927之間；

15世紀初，阿拉伯數學家卡西將圓周率精確到17位小數，從而打破了祖衝之保持近千年的記錄；

1596年，德國數學家魯道夫將圓周率算到20位小數值；

1610年，魯道夫又將圓周率精確到35位小數，該數值被稱為「魯道夫數」；

1706年，梅欽將圓周率計算突破100位小數，並研究了第一個快速算法「梅欽類公式」；

1789年，斯洛維尼亞數學家維加計算出小數點後140位（其中137位正確）；

1948年，英國數學家弗格森和美國數學家倫奇共同發表了圓周率的808位小數值，成為人工計算圓周率的最高紀錄。

隨後，進入了計算機時代，人們利用計算機不斷突破圓周率的精確長度……篇幅所限不一一記錄，只寫兩個有趣的：

3月14日紀念圓周率日

2010年，日本的近藤茂用自己組裝的電腦，耗時90餘天，計算到小數點後5萬億位，他的妻子坦言：「電費壓力比較大」；

2019年3月14日，一位日本籍谷歌工程師，利用雲計算資源，耗時121天，將圓周率算到了31415926535897位，即31.4萬億位，以此來紀念圓周率日。

至此，更高精度的圓周率已經沒有實際的應用意義了，一個無限不循環小數，或許藏著宇宙的奧秘，等待未來的破解，但是現在它只是用來檢驗計算機運算能力的一個工具了。

相關焦點

  • 祖衝之是怎麼算出圓周率的？
    祖衝之如何正確推求圓周率的數值是世界數學史上的一大難題，中國古代數學家對這個問題十分重視，研究也很早，早在周俾算經和九章算術中就提出敬一周三的股率，定位圓周率為三，也就是說圓的周長是直徑的三倍，此後，經過歷代數學家的相繼探索，推算出圓周率數值也日益精確，東漢張衡算出的圓周率為3.162，三國時期的王反推算出的圓周率數值為3.155，魏晉時著名數學家劉徽推算出的數值是3.14，而祖衝之把圓周率精確到了3.1415926和3.1415927之間，祖衝之推算出圓周率是在公元480年，一切都要靠手工計算的時代，他是如何算出精度如何高的圓周率呢？
  • 祖衝之當年花費多大的精力才計算出圓周率?
    祖衝之還給出圓周率(π)的兩個分數形式：22/7（約率）和355/113（密率），其中密率精確到小數第7位。祖衝之對圓周率數值的精確推算值，對於中國乃至世界是一個重大貢獻，後人將「約率」用他的名字命名為「祖衝之圓周率」，簡稱「祖率」。
  • 祖衝之算圓周率時,算盤還沒被發明,他用了何種方法計算出的
    影射、不涉及任何政治世界上第一個將圓周率精確到七位的，就是我國祖衝之，直到一千年以後，阿拉伯數學家阿爾·卡西和法國數學家維葉特兩人才將圓周率後七位給算出來，證明了祖衝之算出的圓周率是正確的，在相同的時間裡，德國科學家將此稱之為安託尼茲率，但仍然別有用心的人說，這段歷史是中國偽造的，而且他們還舉出了種種例子。
  • 圓周率和數學家祖衝之
    而古代的人還沒有精確的算出這個數字之前，計算圓的周長是非常困難的。在2000多年前，怎麼計算圓的周長時，採取用原的直徑直接乘以三，這樣計算的缺點就是誤差非常大。經過人們的運用，發現圓周率應該比三大。但是具體的是多大，沒有人知道。後來祖衝之經過無數次的演算和實驗，才計算出了圓周率的長度為3.1415926到3.1415927之間。
  • 偉大的數學先驅——祖衝之與圓周率!
    求算圓周率的值是數學中一個非常重要也是非常困難的研究課題。中國古代許多數學家都致力於圓周率的計算，而公元5世紀祖衝之所取得的成就可以說是圓周率計算的一個躍進。 祖衝之是中國古代偉大的數學家和天文學家。祖衝之於公元429年出生在建康（今江蘇南京），他家歷代都對天文曆法有研究，他從小就接觸數學和天文知識，公元464年，祖衝之35歲時，他開始計算圓周率。
  • 最早發現圓周率的人並非祖衝之,為何古人認為祖衝之是圓周率之父
    π即是圓周率。它指的是圓的周長和圓的直徑的比值，歷史上曾經以π的精確程度來確定數學發展的程度。雖然說圓周率π是無限不循環小數，但是依靠如今發達的科學技術，可以精確地算到π的小數點後十幾億位。那麼在古代沒有數字，沒有高科技，古人是如何計算得出圓周率的呢？
  • 祖衝之和圓周率
    求算圓周率的值是數學中一個非常重要也是非常困難的研究課題。中國古代許多數學家都致力於圓周率的計算，而公元5世紀祖衝之所取得的成就可以說是圓周率計算的一個躍進。 祖衝之是中國古代偉大的數學家和天文學家。祖衝之於公元429年出生在建康（今江蘇南京），他家歷代都對天文曆法有研究，他從小就接觸數學和天文知識，公元464年，祖衝之35歲時，他開始計算圓周率。
  • 古代沒有數字,條件也很艱苦,祖衝之到底是怎麼計算出圓周率的?
    如果提到我國著名的數學家，大家首先都會想到祖衝之、華羅庚等著名科學家。他們對於數學界所做出的貢獻是巨大的，他們研究數學的經歷也被是人口口相傳。最近就有網友發現，將圓周率固定到一個數值的祖衝之，在其研究的古代時期，是沒有數字的。那麼，祖衝之是如何計算出圓周率的呢？
  • 祖衝之算圓周率:從6邊形到24576邊形算數百萬次,咋算啊?
    眾所周知，祖衝之算出的圓周率是3.1415926和3.1415927之間，這個結果比歐洲早一千多年，祖衝之是怎麼算圓周率的？他從6邊形算到24576邊形，運算數百萬次，這工程太大了，勞動太艱巨了，真是讓人佩服！
  • 祖衝之重寫曆法《大明曆》,發明指南車,計算出圓周率後七位
    導語：歡迎來到婧菡涵義，祖衝之重寫曆法《大明曆》，發明指南車，計算出圓周率後七位。雖然南齊的建立時間很短，但令人自豪的是，這個時代已經產生了中國古代最偉大的科學家祖衝之，足以讓這個王朝永遠留在人們的記憶中。祖衝之的祖父是一位偉大的大匠卿，他的父親是一個寬鬆的官員，他的地位不是很高。當祖衝之年輕的時候，他喜歡看書，人很聰明，尤其擅長數學。
  • 古代沒有計算機,祖衝之是怎樣把圓周率計算到小數點後七位的?
    祖衝之是我國南北朝時期傑出的數學家、天文學家，他在數學、天文曆法和機械製造三方面，為我國的科學進步做出了不可磨滅的貢獻。其中一個比較重要的貢獻是，把圓周率精確到小數點後七位，確定了圓周率數值在3.1415926和3.1415927之間。
  • 最早算出圓周率第七位的人
    曾祖父著有《志怪》一書，這種優越的家庭環境，為他從事科學研究，打下了良好的基礎，也提供了方便， 加上祖衝之年青時勤奮好學，敢於創新，又被宋孝武帝安置在華林學省學習，這個學術研究機構為他學術上的成就創造了有利條件，其科學成就編制《大明曆》算出圓周率密率，在機械製作上製作碓磨和幹裡船，數學著作有《綴術》，文學、哲學著作《易義》、《莊子義》、《老子義》、《釋論語.孝經》、《述異記》等書。
  • 牛人謝新遠解密「祖衝之圓周率3.1416」算術千古懸聯
    在分析過程中，我發現，唯獨我國春秋時代著名的發明家——魯班祖師的魯班尺才能匹配應對。但祖衝之圓周率3.14，按對聯的韻律還可以延長，是因為目前用計算機，圓周率小數點後面再加8位數，對聯結合科學使其更加完美。得出：「祖衝之圓周率三點一四一五九二六五」作為上聯，然後查找段句、平仄。
  • 圓周率是誰發明的 圓周率是怎麼算出來的
    在祖衝之之前，劉徽就計算過圓周率。作為數學家，研究圓周率是他們的專業方向之一。我國古代數學家對圓周率方面的研究工作，成績是突出的。　　早在三國時期，著名數學家劉徽，就用割圓術將圓周率精確到小數點後3位。南北朝時期的祖衝之在劉徽的基礎上，將圓周率精確到了小數點後7位，這一成就比歐州人早了1千多年。　　祖衝之和他兒子從事這項研究工作，當時條件很差。
  • 圓周率是宇宙密碼?如果能將其算盡,會有什麼結果?
    而其中最具代表性的就是祖衝之研究的圓周率，並且他在當時科技不發達的條件下，把我們現在所學的圓周率精確到了7位，就是我們在小學時常常念的3.1415926。我們在這一點上面幾乎比西方快了將近1000年的時間，不過因為當時的南北朝時期，崇尚的並不是科學而是文學，因此當時祖衝之當時發明的圓周率沒法更進一步。
  • 廣西科技館圓周率線上主題科普之六:祖衝之
    在前幾期內容中，我們一起了解了圓周率的基本情況和和發展歷史，今天，讓我們進入廣西科技館圓周率線上主題科普第二篇章——人物篇。我們知道，人類探索圓周率的奧秘已經將近4000年。在這期間，為了精確計算圓周率值，古今中外許多數學家都曾付出心血。他們對推動數學學科發展所作的貢獻，值得我們銘記，也值得我們致敬！
  • 全世界都在算圓周率,算圓周率到底有什麼用?算盡了會怎樣?
    在最初接觸圓周率的時候，在邏輯上是很難以理解的，為什麼會有這樣一個數字，無限且不循環呢？最終，很多人在心裡默默給出了一個答案，肯定是因為計算能力有限，所以沒能將圓周率算完。在古代，計算圓周率的確是一件非常困難的事情，我國古代偉大的數學家祖衝之就是因為利用割圓術精準算出圓周率在3.1415926和3.1415927之間而聲名顯赫。但是對於現在的人們來講，計算圓周率並不是什麼難事，因為我們有了超級計算機，你可能不知道，迄今為止，功能最強大的超級計算機已經將圓周率計算到了小數點後十萬億位，它仍然沒有出現循環。
  • 文學常識積累——祖衝之首推「圓周率」
    祖衝之,字文遠。公元429年出生於河北範陽(今涿州)。受家庭環境的影響，祖衝之從小就喜歡鑽研科技。因此在他很小時，便以「少稽古，有機思」而聞名。二十多歲、便被召入翰林學省任職，這是當時皇家的科研機構。祖衝之充分利用這裡的圖書資料和設備條件，總結前人的科學成就，進行天文學、數學等方面的研究。他發現當時通行的曆法《元嘉歷》有很多缺點，因此立志要編訂出一部更實用、更完善的曆法。他認為，《元嘉歷》的重大缺陷是閏法不準，沒有歲差。經過計算，他指出舊曆每兩百年比實際天數多出一天。因此，他用三百九十一年中設一百四十四個閏月的辦法，矯正閏數過多的弊病。
  • 論算圓周率,中國從古至今就沒輸過,但這麼做有什麼意義?
    但如果要列舉中國古代有名的數學家，很多人只能想到祖衝之，因為他一生的成就中有一項是我們從小就接觸的，那就是關於圓周率的計算。史書記載，生活在南北朝時期的祖衝之在沒有任何先進科學儀器的情況下，將圓周率精確到小數點後七位，領先當時西方將近一千年左右，這是中國數學史上一個輝煌的裡程碑。
  • 嶽麓書院講壇第350期:劉徽和祖衝之從未計算圓周率π——明清之際...
    嶽麓書院 資料圖 　　紅網時刻6月15日訊（通訊員 夏金龍）6月16日（周六）晚，湖南大學嶽麓書院特邀中山大學邏輯與認知研究所所長、《邏輯學研究》主編鞠實兒教授講學，主題為「劉徽和祖衝之從未計算圓周率