來源：武際可科學網博客，作者：武際可教授，北京大學力學系。
我們平常見的雞毛、紙片等輕的物體能夠被風吹上天去，可是像波音飛機那樣起飛重量有三百多噸和四百噸的龐然大物，居然能夠飛起來， 1988年底首次升空的蘇聯安-225飛機，起飛重量達508噸。在一般人看來這實在是人們匪夷所思的奇蹟。
正由於此，許多科普書上要講飛機升空的道理，它成為科普書上常見的一個話題。儘管科普書上有許多解釋，我這裡還是要說一說。這一來是因為這個問題比較重要，從不同角度講一講，對讀者也許會理解得更好；二來是因為有的書上把這個問題回答得過於簡單，容易引起誤解，產生錯誤，有必要說得仔細一點。
首先，飛機的升空是靠的空氣動力，它和氣球飛艇靠空氣浮力升空不同。氣球和飛艇是由於比重比空氣小，受到空氣向上的浮力升起來的。由於飛機的比重比空氣大很多，靜止的飛機是不能升空的，只有當它動起來而且達到一定的速度才能飛離地面；就是直升飛機，也靠的是空氣動力，也需要它頂上的旋翼旋轉到一定的速度，才能升空。
其次，所謂飛機動起來，無非是要求飛機與空氣有一個相對的速度。雞毛靜止時，如果沒有風也是飛不起來的，雞毛能飛起來是因為風吹過來，也就是說雞毛與空氣有一個相對速度。由此思考，一個物體所受的空氣動力，物體運動空氣靜止和物體靜止空氣以同樣的速度流動，是沒有區別的。也就是說，讓物體以速度V 在靜止的空氣中運動所受的力和物體不動，空氣以速度v 運動所受的力是一樣的，基於這個道理，人們才發明了風洞，使空氣在風洞中以一定的速度流動，把物體的模型固定在風洞裡去測量它的受力狀況。
有了這個基本了解，我們來回答關於飛機能夠飛起來的問題。最直接的回答是，這是一個實驗事實。
如圖，一個任意形狀的物體在速度為V 的均勻流動空氣中，它的受力一般來說，不會恰好與空氣流速的方向一致（除非物體和流場是完全對來流的方向對稱的），不妨把它記為力F，這個力可以分解為與空氣流動速度一致的我們稱之為阻力的Fx，和與來流垂直的我們稱之為升力的Fy。從直覺我們就知道力F 的大小和方向取決於空氣的流速與物體的形狀和它相對於流動速度的姿態。飛機之所以能夠飛起來，從根本上來說，就是靠的這個升力Fy，於是人們就要想辦法尋找升力最大而阻力又最小的那些物體的形狀和選取相對來流的合適的角度。這個問題首先就歸結於實驗。
最早進行升力實驗的是英國人喬治·凱利 (George Cayley,1773－1857)。在他之前，人類幾千年世代嚮往像鳥一樣的飛翔，不過在想像中的實現技術上，飛翔也會像鳥一樣的靠翅膀的撲動來飛起。為此達·文西還做出了具體的設計。凱利則開闢了另外一條途徑。
喬治·凱利幼時沒有受過什麼教育，但他自幼好學。他的自然科學知識主要來自一位家庭教師，是當時的有名數學家喬治·瓦克，瓦克很喜愛凱利的聰明好學，便將自己的女兒嫁給他。
在喬治·凱利10歲時，他聽說法國有人利用氣球升空成功，從那時便對航空產生興趣並且一心嚮往。凱利也像達·文西一樣，從小就對鳥的飛行進行了大量的觀察，他最早認識到鳥的翅膀同時具有產生升力與推力的功能。大約在1796年，他仿製和改進了中國的竹蜻蜓。之後他對竹蜻蜓的興趣一直保持到晚年，在25歲的時候，曾根據竹蜻蜓的原理設計了一架直升機。據凱利後來說，這個直升機進行過多次成功的飛行。後來凱利還設計與製造了一架滑翔機。
當時凱利能夠使用的實驗裝置是在若賓 (Benjamin Robins,1707－1751) 所設計的如圖所示的懸臂機。不過在他之前這種懸臂機主要是用來測量物體運動的阻力的。實驗時，將模型固定在懸臂的端部，當懸臂旋轉時，由轉速和懸臂的長度可以計算出模型的速度，在懸臂達到勻速旋轉時，同時由驅動懸臂旋轉的重物就能夠計算出模型所受的阻力。不過，它有一個缺點，就是當懸臂旋轉了一些時間之後，空氣或水會隨著懸臂一同旋轉，這樣會使實驗的精度大受影響。
為了對空氣的阻力與升力進行定量研究，1804年12月，凱利自己設計和製造了一架懸臂機，用於研究平板的升力和阻力。利用這個裝置，凱利得到了最早關於升力和速度方面的數據。他初步的結果是，平板的升力與面積成正比、與迎風角成正比、與速度的平方成正比。他在懸臂機試驗中還發現了流線型對減少阻力的重要性。後來經過許多人的研究改進，平板模型的升力在小攻角的情形下可以用公式表達如下：
這裡，ρ 是空氣的密度；α 是平板與來流的夾角，也稱為攻角；A 是平板的面積；v 是運動速度；Cy是升力係數。有時人們將ρ、sinα 和1/2都併入升力係數中。
1809－1810年凱利分三次在英國的《自然哲學、化學和技藝》雜誌上發表了題目為《論空中航行》的論文。這是世界上最早的航空論文，也是世界上現代航空的標誌。所以凱利後來被人們稱為「航空之父」。在論文中，他明確說：「全部問題是給一塊平板提供動力，使之在空氣中產生並支持一定的重量。」文中他經過精心計算，給出了一架飛機的設計參數，換為現在的單位：當平板的面積為60平方米、迎風角為6°、速度為每秒10米時，升力可以支承90千克的人機總重。他並且說：「如果這塊平板能在動力作用下高效率運動，空中航行就會實現。」
後來凱利還研究了飛機的飛行穩定性、操縱性和安全性，為了保證這些性能，他建議在飛機上機翼上設置反角、在飛機身後加尾翼、在尾翼上裝置可轉動的垂直尾翼等。這些建議都為後來的飛行證實是有效的。
受時代的限制，凱利當時還沒有合用的發動機，甚至連瓦特的蒸汽機也還沒有。所以他沒有辦法實現他的設想。不過在1849－1853年間，他設計並且試製了供載人用的滑翔機。
後來，在凱利逝世後的半個世紀，美國的萊脫兄弟實現了飛機飛行，他們利用了凱利的研究結果，並且自己設計製造了風洞，進行了數以百計的機翼剖面形狀的選擇，終於在1903年實現了載人的飛機飛行。後來大萊脫曾說過：「我們設計的飛機，完全按照凱利爵士的非常精確的計算方法。」所以後來西方的航空專家都稱凱利為航空之父。
在人類實現了飛機飛行之後，世界各國都建造了各式各樣的風洞，進行機翼和飛機升力阻力的實驗。其目的無非要選用升力儘可能大，而阻力儘可能小的翼型和機型。
回過頭來我們再看一看關於升力的公式，它說明升力是與運動速度的平方成正比的，這就是為什麼世界上所有的飛機場都建有相當長的飛機起飛跑道的道理。飛機只有在跑道上加速，當速度達到一定大小時，機翼才會產生足以支持飛機重量的升力，才能夠飛起來。即使是戰鬥機，也需要在起飛之前的一段加速，所以在航空母艦上也有適當長的跑道。當飛機降落時，這些跑道又起著把飛機從高速度通過「剎車」減速到靜止的作用。知道了飛機要飛起來，必須有一定的速度的道理，所以飛機在飛行中為了持續飛行，必須保持飛機的速度在一定的速度之上。如果駕駛員為了提高機翼的升力，給出過大的機翼攻角，這時，機翼的阻力也會加大，阻力加大了，飛行速度就會減下來，減小到一定速度之下，升力就不夠大了，就會掉下來，這就是所謂的飛機「失速」。經常是不適當駕駛造成空難的原因之一。
凱利之後到現在有一個半世紀了，流體力學的理論雖然有了長足的發展，可是要純粹由理論來計算機翼的升力和阻力仍然有很大的困難，實驗仍然是最主要的測量升力和阻力的手段。儘管如此，對飛機的升力追求一種簡單而明了的理論解釋，一直是人們追求的對象，這也就是迄今在許多科普書籍和教材中出現大量對升力通俗解釋的原因。不過現在比較流行的幾種通俗的解釋，其中有些是錯誤的，有些容易引起誤解。我們需要加以說明。
圖 Y-升力；R-總空氣動力；Q-阻力
這種解釋說：「因為飛機機翼切面上方凸起、下方較平，空氣流線被機翼切面分成兩部分，空氣從機翼上方通過的距離較長，下方通過的距離短，因而使得機翼上下的空氣流速不同，即上邊流速大下邊小，根據流體力學伯努利定律，機翼上下的壓強也不同，即上部氣壓小，下部氣壓大，因此在機翼的上下方形成了壓強差才使飛機有了升力。」這種說法可以簡稱為「升力的伯努利定律說」。
這種說法在國際上比較流行，甚至上了一些教科書和飛行員培訓材料，影響很大。說法的「機翼上表面壓強低，下表面壓強高」，是對的，也是符合實驗事實的，引用的伯努利定律也是沒有問題的。不過它說的「由於上表面長，所以速度快」的道理是站不住腳的。理由如下：
為什麼路徑長就快，短就慢？其中隱藏了一個論斷，就是同時到達機翼前緣的兩個流體質點，一個走機翼上邊，一個走機翼下邊，它們會在機翼的後緣同時到達相會。只有在分離與相會的同時性的前提下，才會推論機翼上邊的流速必然大的結論。不幸的是，這種同時性的原則是不存在的。為了說明這個原則是錯誤的，注意下圖，它是一個以速度V 流動的均勻流場，如果在流場內插入一根橡皮管子，在管子的入口處分離的兩個流體質點，一個沿直線AB流動，另一個進入橡皮管繞了一個大彎子流到 B，難道它們會同時到達B嗎？極而言之，如果直線AB只有一米長，而橡皮管有一百米長，它們也會同時到達B嗎？顯然不會。所以這種同時性原則是不存在的。
其次，這種解釋，忽略了一個重要的事實，就是機翼的姿態或者說機翼對來流的相對角度對升力的影響。按照這種說法就無法解釋在飛機做特技表演時，飛機可以上下顛倒飛行，即機翼的彎曲的一邊處於下面，平直的一邊處於上面，照樣能夠飛行。就是說，把機翼上下顛倒後，這時，機翼的升力仍然是向上的。
第二種比較普及的解釋，也是比較早先的解釋，是基於氣流動量在機翼下側反射所形成的反作用力。
如圖，根據動量定律可以得到
按照這個式子，當攻角α 很小時，sinα² 就更微小了。所以在小攻角下升力也會很微小，就是說在這種條件下飛行是沒有指望的。由於這種解釋的主要根據是牛頓第三定律，即作用力與反作用力大小相等方向相反的定律，所以著名力學家馮卡門風趣地說：「牛頓耽誤了飛行。」由於近百年來對於機翼和航空的研究很多，這種解釋在航空界大致是消失了，不過，帆船的風帆和搖櫓的櫓板也可以看作是一面機翼，有時在人們解釋風帆的受力和帆船能夠逆風行進時，或是解釋櫓板受力還會遇到這種解釋。
這種解釋的問題還在於，雖然考慮了機翼的攻角影響，但忽略了機翼形狀對升力的影響，特別是忽略了平板背後形狀的影響，就是說機翼的背風面不管是什麼形狀，升力都是一樣的，這當然是不對的。其實，機翼的整個外形，包括迎風面和背風面都會對升力產生重要作用的。
說了已有解釋中的問題，也許你會問，有沒有比較簡單，但沒有這些問題的解釋呢。有，不過話需要說得稍長一點。
所謂「解釋」無非是用迄今為止人類已經有的力學理論知識來給出升力產生的說明，因之，我們需要回顧和歸總一下與此有關的理論知識。也就是說，盤算一下我們能夠應用的理論「武庫」中的「武器」究竟有幾件。一共有如下三件：
牛頓力學，即牛頓三定律。這是任何運動物體所必須遵循的規律，當然飛機也不例外。
理想流體模型。這是1757年，在彼得堡工作的數學力學家歐拉 (1707-1783) 發表的論文中提出的一種流體力學模型。並且建立了流體運動的基本方程，即連續介質流體運動的歐拉方程，奠定了流體動力學的基礎。不過這種模型沒有考慮流體的粘性，因而稱為理想流體模型。
粘性流體模型，或納維- - 斯託克斯方程。這是1821年由法國學者納維 (1785-1836) 導出，1845年由英國學者斯託克斯 (1819-1903) 完善的一組描述考慮流體粘性的方程組。是迄今能夠描述各種流動現象，包括湍流等複雜流動現象的方程組。不過求解它的難度太大，能夠得到準確解的情形是屈指可數的。
我們就來用這三宗理論解釋機翼的升力問題。
不難理解，飛機定常飛行，是有一個作用在它上面的重力Q 向下，需要一個向上的力Q 才能保持在空中飛行，這個向上的Q 力，由什麼給出呢？牛頓定律告訴我們空氣的運動會產生力，也就是說需要有空氣向下加速度的運動，才能產生向上的反力亦即，設空氣的質量為M，向下運動的速度分量為u 則由牛頓第二定律，必須有
這說明，飛機所以能夠飛行，是由於空氣經過機翼時，產生了方向變化具有了向下的加速度。從這個意義上來說，機翼實際上是飛行過程中的「導流片」，這就是機翼的作用，機翼改變氣流方向的能力愈強，它的升力性能愈好。這樣我們就從定性的角度回答了機翼升力的問題。不過它顯得過於粗略，沒有辦法對升力進行定量估算。
有一個附帶的結果是，既然流體經過機翼時具有向下的加速度，那麼這使機翼的上邊壓強一定會降低，於是飛機兩側的空氣會流向飛機上邊，這就會在飛機後面形成兩個大的尾渦，如圖，有時，跟在大飛機後面的小飛機，如果進入大飛機的尾渦區，是很危險的。
下面，就要考慮用流體力學的模型來解釋了。
我們先來看理想流體的模型能不能解釋飛機的升力問題。這早在1752年法國力學家達朗貝爾 (1717-1783) 就給出了否定的答案。他在論文「流體阻尼的一種新理論」(Essai d'unnouvellethéorie de la resistance des fluides一文中，從理想流體動力學的微分方程出發，嚴格證明了一個定理：物體在大範圍的靜止或勻速流動的不可壓縮、無粘性的理想流體中作等速運動時，它所受到的外力之和為零。這是與實際情況完全不符合的一個結論，這就是著名的達朗貝爾佯謬 (D' Alembert's paradox)。 也就是說，在無限的靜止的理想流體中做等速飛行的飛機無論是升力還是阻力都是等於零的。其原因就是忽略了流體的粘性的緣故。就是由於這個佯謬 ，才刺激人們對流體阻力的研究，才有後來納維- 斯託克斯方程的提出。
回過頭來看前面的「升力的伯努利定律說」，由於伯努利定律可以看作是理想流體的推論，它並沒有考慮流體的粘性，所以單純從伯努利定律同樣是不能解釋機翼的升力問題的。前面列舉的它所導致的矛盾，就是因為它想純粹由伯努利定律來解釋升力的產生所引起的。
這麼說來，是不是意味著要由納維-斯託克斯方程表述的粘性流體力學模型來討論機翼的升力呢？遺憾的是就是到現今，要根據邊界條件來求解納維-斯託克斯方程仍然具有不可克服的困難。另外理想流體的模型和伯努利定律，雖然不能純粹由它來解釋機翼的升力，不過由於它的簡明性，我們應當把它用足，即是說，在用它能夠得到近似結果時就儘量用它。
這種方案早在一百年以前，就由德國的力學家庫塔 (1867-1944) 和俄羅斯的茹可夫斯基 (1847-1921) 解決了。他們的解決思想要點可以這樣來說。
他們首先把理想流體流動再進行簡化，考慮它們是無旋流動。這是一種假定流體每一個微團在運動時都沒有旋轉的流動。這種無旋流動經過德國學者赫姆霍茲 (1821-1894) 和英國學者開爾文 (1824-1907) 的研究，認定如果理想流體在運動的初始的時刻是無旋的，並且所受的外力也是無旋的，那麼它的運動就會是永遠無旋的。這就為把理想流體簡化為無旋運動提供了理論根據。其次，他們把機翼看作是無限長的，這樣只需要討論它的一個截面來討論。即把一個三維問題簡化為一個二維問題來討論。這樣一來，對於定常流動下機翼的升力問題就簡化為一個任意求解的二階偏微分方程的外部問題，即通常的拉普拉斯方程的外部問題。
首先用這個簡化了的二階方程解機翼的外部問題，定解條件是左右無窮遠都是均勻的速度，在機翼邊界只有速度的切向分量。解得的流場如下圖A。如所預期的，這個流場不會產生升力也沒有阻力。不過，仔細看這個流場會發現有：
在理想流體中，不同流線，即使是無限接近的相鄰的兩根流線上的速度也可以相差很大。因為它們之間沒有摩擦，即粘性。須知我們現在面對的真實的流體，一方面後緣速度無限大是不可能的，另一方面不同流線的速度要通過粘性傳遞。小速度的質點，必然會把相鄰的速度大的質點減慢。於是，速度為零的後駐點，必然會逐漸向開始速度接近無窮的後緣移動，最後結果必然是後駐點逐漸移到後緣。注意，這一點，是用到粘性流體性質的關鍵的一點。即，由於流體的粘性，後駐點必然位於後緣上。
在運用粘性得到了流場的大致性質之後，我們還是要回頭儘量用理想流體的模型來做解釋。既然原來的後駐點移向後緣，那麼在原來後駐點的地方應當有一個移動的速度。由於這個速度，又由於流體的不可壓縮性，於是沿著機翼周圍這根流線，每一個地方都必須增加這個速度。這就形成一個環流。所以我們還需要求解一個在機翼表面具有常速度的環流，在無窮遠處速度為零的定解問題B，這個問題仍然是一個理想流體的無旋流動問題。把這兩個問題A 和B 得到的流場相疊加，就是真實的流場C。其中問題B 在機翼表面的速度是由把後駐點移到後緣的條件來確定的。這個條件也稱為庫塔-茹可夫斯基條件。有了流場C，我們就能夠根據流場在機翼表面上各點的速度，再由伯努利定律計算各點的壓強。最後自然會得到機翼的升力。
下面的兩幅圖是轉引自馮卡門所著《空氣動力學的歷史》一書，馮卡門又是引自他的老師普朗特的著作。上邊的一幅是剛開始流動時流場的照片，說明後駐點不在後緣；下邊一幅是當流場不再變化已經進入定常狀態時，後駐點已經移到後緣了，流場是採用鋁粉來顯示的。這個實驗充分說明庫塔和茹可夫斯基在處理這個問題上是符合實際的。注意，下邊那幅圖從後緣出發有一條反時針捲曲的虛線，這是作者用理想流體的渦量守恆定律來解釋環量的產生的。理由是，既然為了把後駐點移向後緣，需要在機翼表面增加一個順時針的環量，那麼由於渦量守恆，必然存在一個反時針的渦量。這樣一來，除了後駐點後移這一點以外，幾乎所有的環節都可以用理想流體的模型來解釋了。而且有實驗證明，這樣的解釋也大致是符合實際的。正因為這樣，他們用這個方法得到的升力與由實驗得到的升力相差不大。後來成為估算機翼升力的主要方法。
他們最後得到的機翼的升力結論是：任何橫截面的柱形物體，設在密度為ρ 的流體中運動的速度為U ，並且在它的周圍存在著數量等於Γ 的環流，則在柱形物體的單位長度上的升力等於ρUΓ 。環流是取一根包圍物體的閉曲線，把曲線分為小段，將曲線段上沿曲線切線方向的流體速度分量的平均值乘以曲線段的弧長，然後逐段相加，結果就是環流量。
上面介紹的庫塔-茹可夫斯基理論，是20世紀初提出的，具體說來，庫塔的論文是1902年發表的，而茹可夫斯基的論文是1906年發表的，就是說，他們的工作對1903年萊特兄弟的飛行成功，影響不大。萊特的成功主要還是基於開始凱利和後來人們陸續做的實驗結果的。不過庫塔和茹可夫斯基的工作為後來早期航空工業的發展提供了理論基礎。後來成為估算飛機升力最重要的理論根據。不過，用這種解釋，雖然對機翼的升力估計較好，但要準確估計機翼的阻力，還需要回到納維-斯託克斯方程。
隨著航空事業的發展，關於機翼的升力理論還有花樣繁多的進展，如有限翼展問題、跨音速和超音速機翼問題、後掠機翼問題等等。我們開始的主題是關於飛機為什麼能夠飛起來的，既然我們前面已經解釋了它的升力主要是靠實驗得出的，又介紹升力的產生和計算，已經保證飛機能夠飛起來了。至於飛起來後，如何飛得快、飛得平穩、飛得好，它需要更多的知識，這些細節我們就不去細說了。
參考文獻：
[1] Prandtl’s，Essentials of Fluid Mechanics，Second Edition，Springe-Valag，2004
[2] 馬丁·宋貝，「伯努利升力原理」批判，力學與實踐，1993 年第 4 期,74-78
[3] von Karman,Aerodynamics History and Analysis of Flight,McGraw-Hill,1954
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