聲波如果在無界區域傳播是沒有共振模態的，只有在有界區域傳播才講共振模態。當聲波在有界區域傳播時，聲波的線性疊加原理可以用於解釋一種稱為駐波的波動現象。
01
聲波的駐波現象
當聲波在剛性邊界的兩個反射面之間來回反射時，就會形成駐波。圖1所示為一個包含兩個反射面的最簡單的產生駐波的剛性邊界區域。在此結構中，聲波在反射面之間往返傳播。
圖1 聲波在兩個平行界面間的反射
在大部分頻率下，反射面之間的距離與聲波的波長不成整數倍關係，因此，聲波的波峰與波谷可能出現在界面間的任何位置，並且出現的概率相等，如圖2所示。然而，當波長和反射面間距成一定整數比例關係時，聲波將沿著相同的軌跡在反射面之間往返傳播，即聲波的疏密狀態在兩個反射面之間的位置是固定的。
圖2 兩個平行界面間傳播的疏密位置不固定的聲波
由於聲波在反射面之間的狀態是固定不變的，因此稱為駐波，更確切地說，是一種共振模態（或者稱之為聲腔模態）。駐波實際上是以一個正常的速度傳播的，只是兩列波疊加後波形並不向前推進，如圖3所示。
圖3 兩個剛性界面間駐波的聲壓分量
圖4 兩個剛性界面間駐波的速度分量
從圖3和圖4可以看出駐波在兩個剛性界面間的聲壓分量和速度分量的分布情況，此時，在兩個反射面處聲壓分量達到最大值，速度分量達到最小值。滿足以上條件的最低頻率是聲波半波長等於反射面間的距離。因此，在一定間距的兩個反射面之間可能存在的駐波最低頻率可以用下式計算
式中，
這個公式與車輛乘員艙的第1階聲腔模態頻率經驗公式相同，在後續將對此進行說明，此時
當反射面的間距等於半波長的整數倍時也能形成駐波，因此，理論上形成的駐波的頻率有無數多個，這些頻率都是
其中，
從圖3和圖4可以看出，駐波的聲壓分量和速度分量在某些位置產生最大幅值，在某些位置產生最小幅值。例如，在圖3中，聲壓分量的幅值在邊界處和中點處達到最大值，而在圖4中，速度分量在邊界和中點處為零。聲壓分量幅值為零的位置稱為壓力波節點，聲壓分量幅值最大的位置稱為壓力波腹點。隨著反射面之間駐波的半波長數量的增多，波節和波腹的數量隨之增加。剛性界面壓力波節點的數量等於半波長的個數，壓力波腹點的數量比節點多一個。同理也存在速度波的節點和腹點，它們與壓力波節點和壓力波腹點是密切相關的，速度波腹點和壓力波節點會同時出現，反之亦然，如圖5所示。為是因為能量在聲波的傳輸過程中，或者存儲在壓力波節點的速度分量中，或者存儲在速度波節點的聲壓分量中。
圖5 兩個剛性界面間駐波的聲壓分量與速度分量
02
在管道中的傳播
駐波除了可以在上述剛性反射面之間傳播外，還可以在以下兩種邊界條件下傳播。第一種情況如圖6和圖7所示，聲波從有界區域傳播到無界區域，相當於在兩端存在邊界，例如，兩端開口的管子。在這種情況下，在邊界處的聲壓為零，而速度達到最大值，如圖6和圖7所示。和剛性界面內的駐波類似，駐波的最小頻率應滿足半波長等於邊界間距的條件，其他駐波頻率為最小頻率的整數倍。因此，上面公式（2）也適用於計算這種情況下的駐波頻率。
圖6 兩個有界-無界邊界內駐波的聲壓分量
圖7 兩個有界-無界邊界內駐波的速度分量
第二種情況是聲壓在一端為剛性邊界，而另一端開口的管子中傳播，如圖8和圖9所示。在這種情況下，開口端產生了壓力波節點，而剛性邊界處產生了壓力波腹點。在這種邊界條件下，駐波存在的條件是兩個邊界之間存在奇數個1/4波長。
圖8 一端封閉一端開口區域內駐波的聲壓分量
圖9 一端封閉一端開口區域內駐波的速度分量
1/4波長的偶數倍不能形成駐波，因為此時，正如圖3和圖6所示，會在兩端同時生成壓力波節點或壓力波腹點，不滿足邊界條件。因此，駐波應滿足的條件是，其頻率為最小駐波頻率的奇數倍，用代數式表示為
圖8和圖9是n=2的駐波，該駐波的頻率是最低頻率的5倍。駐波可以存在於任何形式的聲波傳播中。假設琴弦上橫波的傳播速度為
在圖8中，我們注意到聲波在開口端入射進入之後，經反射回到開口端位置時，反射聲壓的相位與入射聲壓的相位相差180度，這樣再與入射波疊加時就達到了消聲的目的。
駐波在聲學中通常稱為特定系統的模態，駐波的最低頻率稱為第1階模態，最低頻率的倍數為高階模態。因此，系統的第3階模態是駐波頻率第三低的模態。產生駐波的邊界條件也不僅限於兩個平行的反射面，事實上任何反射或折射回來的聲波均能產生駐波或模態，駐波可以以任何形式存在於一維、二維或三維空間中。產生駐波的必要條件是聲波的傳播路徑是周期性重複的，從而保證聲波的每一次傳播是同相位的。圖10所示為二維駐波的一個例子。
圖10 二維駐波
03
房間的共振模態
當房間被一個瞬態脈衝聲激勵後，聲能通過牆面反射回來，每次反射都有一部分能量被牆面吸收，因此聲能按指數規律衰減。理想狀態下，聲波從每個面反射的概率相等，房間內形成一個擴散聲場，聲能按單一的指數規律衰減，衰減常數與房間的平均吸聲係數成正比。但實際情況並不總是這樣，有時聲能會沿某個固定的，周期性的軌跡反射，如圖11所示，如果聲程正好是波長的一半，則會在房間裡形成駐波。這些駐波（共振模態）的聲壓和振速在空間的分布是靜態的，與房間裡的其他聲波有以下不同之處：
駐波並不以相同的概率到達各個牆面，而是只在少數相關的牆面之間來回反射；
駐波並不隨機地從各個不同角度撞擊牆面，而是以一定的角度入射到牆面；
駐波會沿著周期性的路徑回到原來的牆面，因此與頻率的關係非常密切，即駐波的頻率往往是離散分布的，與房間的尺寸有關。
圖11 房間裡周期性的聲波反射路徑
房間駐波的另一個名稱是共振模態，其發生的頻率稱為「模態頻率」。由於這些模態在空間分布是靜態的，因此，隨著位置的變動，空間各處聲壓變化較大，這是所不希望出現的。這有三種類型的房間模態，分別是軸向模態、切向模態和斜向模態。
(1)軸向模態
這些模態發生在兩個相對的牆面之間，如圖12所示，其頻率與房間尺寸有關。軸向模態頻率由以下公式計算：
其中，
式（4）說明軸向模態頻率有無數多個，其半波長的整數倍正好等於兩個牆面之間的距離，最低模態頻率的半波長正好等於兩個反射面之間的距離。
圖12 房間軸向模態路徑
(2)切向模態
這些模態出現在4個面之間，如圖13所示。其頻率與房間兩個方向的尺寸有關，切向模態頻率可以由以下公式計算：
圖13 房間切向模態路徑
切向模態也有無數多個，其頻率應滿足的條件是，在兩對反射面之間正好能夠容納整數倍半波長，結果導致最低切向模態頻率比最低軸向模態頻率高，儘管從表面上看其路徑更長。這是因為駐波必須與兩個相對牆面的間距相匹配，兩個牆面間距是三角形的直角邊，而不是斜邊，當聲波沿著斜邊傳播時，在房間的邊界方向產生的有效波長或相位速度更大，如圖14所示。因此，最低切向模態頻率必須滿足的條件是相位速度對應的半個波長正好等於兩個牆面的間距。
圖14 房間切向模態的相位速度
(3)斜向模態
這些模態出現在房間所有6個面之間，如圖15所示，其頻率與房間的三個尺寸都有關。斜向模態頻率由以下公式計算：
圖15 房間斜向模態路徑
最低斜向模態頻率也比最低軸向模態頻率高，原因與切向模態相同。
04
模態頻率的通用計算公式
在上一節中介紹的3種形式的模態構成了房間裡可能存在的一系列密集的模態頻率。令斜向模態中的
上式表明，如果某個牆面間距和其他牆面間距成整數倍關係，就會導致一些模態頻率相同的情況出現，這能引起嚴重問題。如果在車輛的乘員艙出現多個聲腔模態頻率相同的情況，那麼，這個頻率的聲音就會特別突出，這是不希望出現的。為了使模態頻率分布均勻，房間的尺寸最好採用非整數比關係。關於最佳空間尺寸比例的研究工作進行了許多，表1所示為一些可選用的最佳尺寸比。但這些並不是理想空間尺寸比例的唯一選擇。房間駐波模態是任何結構的包含聲源的封閉空間固有存在的聲波形式，不能通過改變房間形狀，例如，通過使某個牆面傾斜一定角度將這些共振模態去除。房間形狀的改變只能使共振頻率值的計算變得更為複雜。
表1 一些房間最佳尺寸比例
高
寬
長
A
1.00
1.14
1.39
B
1.00
1.28
1.54
C
1.00
1.60
2.33
假設房間尺寸為3.5m×5m×2.5m，注意到後兩個尺寸成2倍比例關係。這個房間的最低聲腔模態頻率為沿5m方向的軸向模態頻率，即x，y和z取值為（0 1 0），等於34.4Hz。由於5m是長度2.5m的2倍，因此，沿5m方向的第二個軸向模態頻率（0 2 0）與沿2.5m方向的第一個軸向模態頻率（0 0 1）重合，均為68.8Hz，導致在這個頻率處，聲音得到了加強，出現了聽覺上明顯可以覺察到的頻響峰值。
從式（7）可以看出，當房間某個方向的尺寸大於其他兩個方向時，則房間的最低模態頻率為這個方向的軸向模態頻率，此時模態頻率計算公式簡化為式（4）。
如對於私家車而言，乘員艙的第1階聲腔模態則是沿車輛縱向長度方向的軸向模態。而對於商用車的駕駛室而言，由於其橫向尺寸大於縱向尺寸，因此，商用車駕駛室的第1階聲腔模態是沿駕駛室橫向方向的軸向模態。
05
聲音共振模態的表現
聲音在房間內的共振模態的表現不同於普通擴散聲場的表現。存在以下特點：
由於非隨機入射，駐波模態撞擊的牆面數目較少，吸聲係數也比隨機入射小，因此，駐波模態的聲吸收並不像其他聲波那樣強；
吸聲量的減少與頻率關係密切。在駐波發生的頻率，聲吸收較小，聲音的衰減速度較慢；
房間聲能的衰減不再是按單一的指數規律衰減形式（時間常數正比於平均吸聲係數），而是存在幾個衰減時間，其中最短的衰減時間一般由擴散聲場產生，較長的衰減時間往往由房間共振模態產生，結果使得這些頻率的聲音成分過多，使房間的音質下降。
參考：
1. David M.Howard，Jamie A. S.Angus. Acoustics and Psychoacoustics (Fifth Edition), Routledge Press, 2017
2. 陳小平譯. 音樂聲學與心理聲學，人民郵電出版社，2014