管道系統的動態特性在很大程度上取決於系統的自由振動或自振。對於單自由度系
統，只需要處理一個固有頻率，系統只能沿一個方向運動。然而，在一個多自由(MDOF)結構系統中，例如管道系統，存在許多固有頻率，每個固有頻率具有其振動形狀或模式。為了研究自由振動，就像SDOF的情況一樣，我們把外力設為零。由於我們已經在單自由度系統SDOF的情況下確定了阻尼對固有頻率的影響很小，所以多自由度系統我們也可以假設自由振動分析的阻尼為零。將力和阻尼項從下式振動方程中去掉，自由振動方程變為：
因為將正弦或餘弦函數求兩次導數又會回到原來的函數形式，所以簡諧振動方程可以很好的滿足上面的方程。考慮到正弦震蕩曲線，可將{X}向量假設成如下的形式：
代入振動方程求解：
為了得到的非平凡解，必須為零。這是一個標準的特徵值求解問題。
可以得到N個特徵對：
為特徵值，為特徵向量。為第i階自然頻率，而就是對應的第i階的振型，也叫模態。在這可以看到乘上一個放大或縮小的係數，方程也是滿足的。所以，劃重點，這個特徵向量求出來並不是實際的質點位移，而是所有質點在這種情況下相互的位置關係（簡單說就是相互位置比例就是這樣的）。
特徵向量最重要的一個特點是模態相互正交。因此有下面的特性：
因為特徵向量可以乘上任意的放大係數，所以上式可以變形成下面的形式：
是對角陣或單位矩陣。這樣可以將特徵向量歸一化，為了方便，下面所有特徵向量假設都已經歸一化。所以特徵方程就可以用下面的形式來表達：
就是一個對角陣。
由於正交性，N階模態構成了N維空間的N個獨立坐標。它們可以放到普通的單位空間去表示任意的空間向量。因此位移向量就可以用N為模態定義成以下形式：
其中是由組成的列向量，是由組成的向量，它代表的是坐標或理解成的放大係數。把上式代入振動方程，可以得到振動方程更明確的表達形式：
在上式兩邊前乘,上式變成：
由前面的推導得：
因為和都是對角陣，假設阻尼矩陣是正交的，上面的方程實質上就是解耦過的N個單自由度方程。當然，因為實際的阻尼是很複雜的，很難應用到我們實際的分析過程中來，所以我們稍微「偷懶」一下，把阻尼矩陣當做對角陣並用阻尼係數來把阻尼影響放到每一階模態中去。參照單自由度系統我們推導的公式，可以將上式變成N個單自由度系統公式：
單自由度系統公式：
得：
相當於，
是對角陣。
上面的模態疊加法把N維空間的多自由度振動方程轉變成了N個單自由度系統方程，然後我們就可以用解單自由度方程的方法來解決問題了，複雜問題簡單化可操作化了，這就是理論推導的魅力。
根據外載荷不同的形式，採用不同形式的解決方法。常用的兩種方法便是響應譜法和時間歷程法。響應譜法是將外載荷做成響應譜的形式，時間歷程發是將外載荷通過時間分成一小段一小段時間進行分析。
自然頻率和模態通常是從最低階開始計算，最低階頻率也稱為第一階固有頻率或基頻。根據理論推導，應該有N階固有頻率，但是，通常只有低頻的模態會被真正的激發，在分析中，不會計算所有的模態，只有選擇性的計算有影響的低階部分。至於計算過程中從哪個頻率開始截斷分析，要看實際的分析對象而定。
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