各位關注數學世界的朋友，大家好！數學世界將繼續為大家分析和講解初中數學中與圓有關的面積綜合題，筆者希望通過對習題的解析，能夠為廣大初中生學習相關的數學知識提供一些幫助！
長期關注數學世界的朋友都知道，數學世界一直都是精心挑選有代表性的數學題分享給大家，希望由此激發學生們對數學這門課程的學習興趣，並能給廣大學生學習數學這門課程提供助力！
今天，數學世界分享一道與圓有關的面積計算的解答題，涉及了切線的判定，扇形面積，直角三角形的性質和判定等知識。下面，數學世界就與大家一起來看題目吧！
例題：（初中數學綜合題）如圖，以△ABC的邊AB為直徑畫⊙O，交AC於點D，半徑OE∥BD，連接BE，DE，BD，且BE交AC於點F，∠DEB=∠DBC．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BF=BC=2，求圖中陰影部分的面積．
知識回顧
圓周角定理推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等。
切線的判定：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
分析與解答：（請大家注意，想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。以下過程可以部分調整，並且可能還有其他不同的解題方法）（1）要證BC是⊙O的切線，只要推出AB⊥BC即可，而∠ADB的度數是90°，結合條件可以求出∠ABD+∠DBC=90°，根據切線判定即可得證；（2）連接OD，分別求出三角形DOB面積和扇形DOB面積，兩部分的面積相減即可求出結果．
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，（直徑所對的圓周角是90°）
∴∠A+∠ABD=90°，（直角三角形的性質）
∵∠A=∠DEB，（同弧所對的圓周角相等）
∠DEB=∠DBC，（已知條件）
∴∠A=∠DBC，（等量代換）
∵∠A+∠ABD=90°，（已證）
∴∠DBC+∠ABD=∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；（切線的判定）
（2）解：連接OD，如圖，
（得到三角形DOB和扇形DOB）
∵BF=BC=2，∠ADB=90°，
∴∠CBD=∠FBD，（等腰三角形「三線合一」）
∵OE∥BD，
∴∠FBD=∠OEB，（平行線的性質）
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，（等邊對等角）
∴∠CBD=∠DBE=∠OBE=1/3∠ABC=30°，
∴∠CBF=∠OBD=60°，
∵BF=BC=2，OD=OB，
∴△BCF和△BOD是等邊三角形，
∴∠C=∠BOD=60°，∠BAC=30°，
（用勾股定理或者函數知識求出AB）
∴AB=2√3，
∴⊙O的半徑為√3，
∴扇形DOB的面積=60/360×π×3=π/2，
等邊△BOD的面積=1/2×√3×（√3×√3/2）=3√3/4，
（詳細計算過程省略）
∴陰影部分的面積=扇形DOB的面積-三角形DOB的面積
=π/2-3√3/4.
（完畢）
這道題是關於圓的綜合題，考查了切線的判定、等腰三角形的性質、直角三角形的性質和判定、扇形面積的計算以及等邊三角形面積的計算，解題的關鍵是推出等邊三角形。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家留言討論。
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