證明三條線段之間的數量關係，是初二上冊數學的考試熱點，也是學習中的重難點。有些同學在學習該版塊時，苦於找不到線段之間的數量關係，導致對數學學習的信心大減。
其實，在初二階段，數學中的三條線段之間的數量關係非常明確，要麼兩條線段相加等於第三條線段，要麼兩條線段相減等於第三條線段。而將這三條線段放到同一條直線中判斷，思路慢慢就會清晰了。
下面，用三種方法從三個方面分析，三條線段之間的數量關係究竟怎麼解答！
方法一、全等三角形法：等量代換
例題、(1)已知，如圖①,在△ABC 中，∠BAC=90°,AB=AC,直線 m 經 過點 A,BD⊥直線 m,CE⊥直線 m,垂足分別為點 D,E, 求證：DE=BD+CE;
(2)如圖②,將(1)中的條件改為在△ABC 中，AB=AC,D,A,E 三點都 在直線 m 上，並且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意鈍角， 請問結論 DE=BD+CE 是否成立？若成立，請你給出證明：若不成立， 請說明理由.
證明：(1)因為 BD⊥直線 m,CE⊥直線 m,
所以∠BDA=∠CEA=90°,
因為∠BAC=90°,
所以∠BAD+∠CAE=90°,
因為∠BAD+∠ABD=90°,
所以∠CAE=∠ABD,
因為在△ADB 和△CEA 中：
∠ABD=∠CAE，∠BDA=∠CEA，AB=AC
所以△ADB≌△CEA(AAS), 所以 AE=BD,AD=CE,
所以 DE=AE+AD=BD+CE.
(2)成立.理由如下：
因為∠BDA=∠BAC=α,
所以∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
所以∠CAE=∠ABD,
因為在△ADB 和△CEA 中，∠ABD=∠CAE，∠BDA=∠CEA，AB=AC
所以△ADB≌△CEA(AAS), 所以 AE=BD,AD=CE,
所以 DE=AE+AD=BD+CE.
方法二、等面積法
例題、已知在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上任意一點，過點D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F．
（1）如圖1，當點D在邊BC的什麼位置時，DE=DF？並給出證明；
（2）如圖2，過點C作AB邊上的高CG，垂足為G，試猜想線段DE，DF，CG的長度之間存在怎樣的數量關係？並給出證明．
【解答】解：（1）當點D在BC的中點上時，DE=DF，
證明：∵D為BC中點，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△BED和△CFD中，∠B=∠C，∠DEB=∠DFC，BD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．
（2）CG=DE+DF
證明：連接AD，
∵S三角形ABC=S三角形ADB+S三角形ADC，
∴0.5AB×CG=0.5AB×DE+0.5AC×DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．
方法三、截長補短法：構造全等三角形
例、已知△ABC和△DEF為等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，點E在AB上，點F在射線AC上。
(1)如圖1，若∠BAC=60°，點F與點C重合，求證：AF=AE+AD；
(2)如圖2，若AD=AB，求證：AF=AE+BC。(提示：在FA上截取FM=AE，連接DM)
證明：(1)∵∠BAC=∠EDF=60°，
∴△ABC、△DEF為等邊三角形，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，
在△BCE和△ACD中BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD
∴△BCE≌△ACE(SAS)，
∴AD=BE，
∴AE+A=AE+BE=AB=AF：
(2)在FA上截取FM=AE，連接DM，
∵∠BAC=∠EDF，
∴∠AED=∠MFD，
在△AED和△MFD中AE=MF，∠AED=∠MFD，ED=DF，
∴△AED≌△MFD(SAS)，
∴DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM，
即∠ADM=∠EDF=∠BAC，
在△ABC和△DAM中，AB=DA，∠BAC=∠ADM，AC=DM，
∴△ABC≌△DAM(SAS)，
∴AM=BC，
∴AE+BC=FM+AM=AF．
即AF=AE+BC．
鞏固練習
如圖1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交於點F。
(1) 直接寫出∠AFC的度數
(2) 請你判斷並寫出FE與FD之間的數量關係
(3) 如圖2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，試判斷線段AE、CD與AC之間的數量關係並說明理由
參考答案：
這三種證明三條線段之間的數量關係的方法，無非就是構造全等三角形和等面積的運用。你學會了嗎？