數學上有哪些巧妙的證明過程?

有關數學公式的證明很多，下面介紹幾個常見公式的巧妙證明過程。

（1）自然數的立方和=自然數之和的平方

上述等式的左邊為自然數的立方和，等式的右邊為自然數之和的平方。雖然通過分別推導出左右兩邊的計算公式就能證明該等式，但通過如下的圖形很直觀地就能證明上式：

把自然數立方和的圖形平鋪看來，其中的正方體數量剛好是就是自然數之和的平方，所以就能證明上述等式成立。

（2）勾股定理

這個公式為勾股定理，我國在商朝時就已經發現了直角三角形的一個特例——勾三股四玄五，後來的中外數學家通過各種方法來證明這個公式。下面要介紹的是加菲爾德證法的變形方法，這可以很容易證明勾股定理：

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大正方形的面積為：

(a+b)^2

大正方形的面積也等於四個三角形的面積以及小正方形的面積之和：

4×(1/2ab)+c^2

由此可得下式：

(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2

化簡之後，即可得勾股定理：

a^2+b^2=c^2

（3）歐拉恆等式

這個公式就是著名的歐拉恆等式，它被譽為最美的數學公式。一個十分簡單的公式就結合了數學中最重要的常數——自然常數e、虛數單位i、圓周率π、自然數1、自然數0，以及最重要的數學符號——加號+、等號=。

歐拉恆等式源自於如下的歐拉公式：

對歐拉公式的左邊e^(iθ)進行泰勒展開可得：

再分別對cosθ和sinθ進行泰勒展開可得：

顯然，cosθ與sinθ之和剛好等於e^(iθ)，由此就能證明歐拉公式成立。再令歐拉公式中的θ=π，即可得下式：

e^(iπ)=-1+0

對上式進行移項，最終就可以推導出歐拉恆等式的常見形式。

（4）證明圓周率是無理數

雖然人類早在三千多年前就已使用圓周率，但直到兩百多年前，數學家才首次證明圓周率是一個無理數。圓周率是無理數的證明方法不少，下面要介紹的是數學家Ivan M. Niven給出的反證法，這種方法簡單而又巧妙。

倘若π為有理數，必然存在整數a和b，使得下式成立：

π=a/b

構造如下兩個函數：

其中n為正整數。

顯然，f^k(0)、f^k(π)、F(0)以及F(π)都為整數。而且f(x)和f^k(x)都會滿足f(x)=f(π-x)，它們都在x=0以及x=π處可積。

再構造函數G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx，並對其進行求導可得：

對上式兩邊從0到π都進行積分可得下式：

因為F(0)以及F(π)都為整數，故F(π)+F(0)亦是整數。當x∈(0, π)時，顯然有f(x)>0且sinx>0，故f(x)sinx>0，所以F(π)+F(0)>0，並且f(x)sinx在[0, π]上的積分為正整數。

當x∈(0, π)時，顯然有a-bx

顯然，當n+∞時，f(x)sinx0，由夾逼定理可得，f(x)sinx在[0, π]上的積分也會趨於0。然而，上述的推導表明這個積分是正整數，所以兩者出現了矛盾。這意味著π=a/b不成立，所以圓周率必然為一個無理數。

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