二次函數與幾何綜合之相似三角形存在性問題

二次函數與幾何綜合之相似三角形存在性

先來看看這樣一道題目：

這是一道二次函數與幾何綜合題，考查到相似三角形的存在性問題的探究：

題目

解題第一步，先整理和分析題幹條件

題幹中的四個條件逐一分析，與相關知識點結合，得到一些新的結論

分析第（1）問：

第一問考查的比較基礎，根據已知條件求拋物線表達式和點的坐標,

解答第（1）問

先來解答第（1）問，這可是送分題，必須要熟練，

分析第（2）問：

第二問比較複雜，涉及到多個知識點，需要分多步來分析：

先求A′的坐標：

求出C2的關係式：

求出C2的關係式：

分類討論相似的可能性 ：

表示出各線段 ：

求出C2的關係式：

解答第（2）問：

求出C2的關係式：

表示出點A′

求出C2的關係式：

表示出點P：

計算出△AMN各邊長度，判斷其形狀：

分析P、A′、C為頂點的三角形形狀，表示出相關邊長：

以P、A′、C為頂點的三角形與△AMN中，都有一個直角，

再需滿足兩直角邊對應正比例即可；

即以P、A′、C為頂點的三角形與△AMN相似有兩種情況：

情況1

情況2

最終結果：

本題是二次函數與幾何綜合題，考查到以下知識點：

利用頂點式求二次函數表達式；

點與函數表達式；

函數圖像上點的坐標的表示；

平面直角坐標系中兩點間距離的表示；

平面直角坐標系中兩點間距離公式；

拋物線關於y軸對稱係數的特徵；

勾股定理；

列方程並解方程；

相似三角形判定和性質；

取絕對值運算；

分類討論思想；

存在性問題探究；

重難點梳理：

兩拋物線對稱的特徵

相似三角形存在問題的分類討論

平面直角坐標系中兩點間距離公式

平面直角坐標系中兩點間距離的表示：

二次函數與幾何綜合問題的解題思路：

根據點的特徵表示出點的坐標，若點在函數圖像上，一般先設出點的橫坐標，再代入函數關係式，表示出縱坐標，再根據點的坐標標出出線段或計算出線段的長度；

然後再結合幾何圖形的性質進行分析，得關於表示點的坐標或線段長度之間的方程，然後解方程即可。