這裡的作圖測量法並非那些本來就要求你作圖的試題,而是一種投機取巧的方法。核心思想就是根據題目的條件,利用尺規工具準確的作圖,然後結合問題,再用直尺、量角器等工具直接「量出「答案。這種作圖法常用於旋轉題、填空題中,而且問題通常是求某個線段的值或者某個角度的值等情況。
可能有些考生會認為這種方法太low,但是不管白貓黑貓抓住老鼠就是好貓,不管你用什麼方法,只要你把題目做出來,得到分才是最重要的。考場上,時間緊迫,幾乎每個人或多或少都有些緊張,並不是每個題目都能得心應手,一看完題,正確的解題思路就立刻出現在腦海中。
作圖法有時候也能啟迪你的思路,讓你順著結果去尋找所需要的條件。
作圖測量法的精髓在於準確作圖,因為作圖越準確,所求的值就越接近正確答案。儘管這種方法不適用於所有幾何題,但遇到暫時沒有思路去解題時,不放考慮一下這個方法。你需要做的就是潛意識裡有這樣一招技法。
用作圖法解題,雖然從本質上你沒有找到該題的解題方法,但你依然得到了正確答案,你依然獲得了題目的得分。
讓我們來看下面這個填空題。
已知矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是AB延長線上一點,且滿足∠CDE=15,那麼CE=_____________。
本題給的條件都很規矩,且已知條件的線段值也是整數,∠CDE雖然不是特殊角,但用量角器也很容易作出DE線。如果在常規思路無法解題的情況下,完全可以通過準確作圖,來獲得CE的答案。也就是說,如果你按照題目要求,把這個圖形準確的做出來,然後用直尺量一下CE線段的長,你可能就能得出正確答案。
大家可以試一下,可以在草稿紙上以cm為單位,比如AD=2cm這樣的比例來作圖。最後,你用直尺量CE的長,可能在3.9到4.1之間。那麼這個時候,你就可以大膽的猜測答案就是4了。因為本題的角度15度,所關聯的角度無非就是30度、45度、60度等。最後的結論是一個複雜的值,比如3.95等情況的可能性是極小的。
如果你作圖非常準確,你可能就會測量到CE幾乎完全就是等於4。
上題用作圖法得到了答案,那常規思路又是如何的呢。要得到百分百的正確答案,就得做輔助線,通過計算得到。怎麼做輔助線呢?這可能就是一隻攔路虎。下面是正確的解題思路,想一想,你能否快速在3分鐘之內想到這條輔助線,最後解出這道填空題。
由15度的角聯想到構造30度的特殊角,然後證明四邊形是平行四邊形,從而得到CE的長度。當輔助線一做出來,你會覺得此題不難。然而,在輔助線沒有做出來之前,你則可能是心煩意亂。常規的思路證明了我們剛才的作圖測量法是正確的。
下面再來看一道最新中考真題。
(安徽2019蕪湖中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=6,BC=12,點D在邊BC上,點E在線段AD上,EF⊥AC於F,EG⊥EF交AB於G,若EF=EG,則CD的長為( )
A. 3.6 B. 4 C. 4.8 D. 5
本題已知條件的數值也具有可準確做圖的特性。結合到本體是選擇題,我們可以嘗試用一個值來作圖,即讓CD等於某個答案,然後檢測EF和EG的值是否是相等的。因為題目說E是AD上上一點,沒有明確位置,因此很可能就是任意一點都滿足這個條件。如果E是特定點,那這個題可能就很複雜了,因為還要考慮E點在哪裡,對於一道位於第7位置的選擇題來說,應該不會是很複雜的。首先,心裡上我們不能把它看作是難題,否則會把你的思路帶偏。
但是常規的解題思路是怎樣的呢,思維不靈活的考生很可能就一直在糾結在E點在哪裡,然後陷入死胡同。此時,作圖法就排上用場了。
看一下4個答案,4是一個可能性最大的答案,因為他和題目中的6,12這樣的數字呈現3:2和3倍這樣的關係,所以,靈感告訴我們在準確做出AC=6,CD=12的直角三角形後,準確截取CD=4,然後在AD上任意取一點E,你會發現EF=EG,那麼答案就是4,即選B。如果你還不放心,可以截取CD=3.6,你再量一下,EF和EG相差就比較大了。用同樣的方法,可以嘗試一下CD=4.8的情況,結果也是EF和EG相差比較大。根據圖形的趨勢和直觀感覺,4.8都不行,答案D的5就相差更大了。
注意,本題在草稿紙上作圖時,可靈活作比例縮放,比如題目中的6就作成3cm,那麼12就是6cm,最後實際量出來的CD值乘以2就是題目裡的答案。
常規思路如下圖所示。
從思路中可以看出,一旦CD滿足某個值,使得AD上某個E點滿足EF=EG,這時,AD上無論E點在哪裡,都滿足EF=EG。所以,本題雖然不算難,但如果不能及時發現E位置的普遍性,則比較難快速想到利用AE:AD這種公共比例作為橋梁,從而想到DK輔助線。
結論
作圖法是用在常規思路受阻,而題目的各種條件又比較適合於準確作圖的情況下,採取直接測量值的手段來猜測、估算從而獲得答案。如果試卷上的圖本來就很準確,可以直接利用。反之,則在草稿紙上作圖,如果數字過大或過小,可以自己設定縮放比例。
口訣:幾何條件值友好,作圖測量猜答案。
安徽2019蕪湖中考題擴展討論,如果EF=2EG,那麼答案又是多少,歡迎留言討論。